Имеет единственное решение

Подстановка так как для всех х, то t> 0

Будем рассматривать две функции

левая часть уравнения

правая часть уравнения

Рассмотрим случаи a > 0, a<0 и a=0

1) a>0

Построим график функции f(t)

Для t рассмотрим промежутки

А)

В)

А)

В)

График будет состоять из луча и отрезка

Вершина, из которой выходит данный луч и отрезок имеет координаты

(a/2;-5/2a)

Уравнение прямой будет

(черная пунктирная линия)

для a>0

Для единственного решения необходимо

Правая часть ломаной касалась параболы

Уравнение имеет один корень D =0

2) a < 0

Построим график функции f(t)

Для t рассмотрим промежутки

А) В)

А)

В)

График будет состоять из луча и отрезка

Для единственного решения необходимо

Левая часть ломаной касалась параболы

Уравнение имеет один корень D =0

3) a=0

Так как t >0

Корни t = -1 t = 0 – посторонние, единственный корень t = 1

При а = 1/12, -9/4, 0 уравнение имеет один корень

С5. Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение на отрезке

Применим так называемую «универсальную» тригонометрическую подстановку, будущим студентам хорошо бы ее знать для последующих вычислений интегралов

По условию задачи тогда

Сделаем замену и выполним алгебраические преобразования

Необходимо, чтобы первое уравнение имело хотя бы один корень

При k # 0 уравнение не квадратное

Корни уравнения по формуле квадратного уравнения

Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы

Методом интервалов получаем

Решение неравенства

По теореме Виета

Корни либо оба положительные, либо отрицательные, так как их произведение =3>0

Если оба положительные, то

Мы уменьшили интервал значений k, при котором уравнение имеет корни на интервале

При Возможно уравнение имеет корни

Покажем, что наше уравнение не имеет корней (методом от противного)

Предположим, что имеет

По свойствам неравенств

Что противоречит теореме Виета

Тогда на интервале от 0 до 1 существует не более 1 корня.

Если

на концах отрезка [0;1] имеет значения разных знаков, то существует при котором

Если , то уравнение имеет один корень

Методом интервалов получаем

так как

k= 0 мы пока не рассматриваем

Значения параметра k

Рассмотрим отдельно случай когда, k=0

У нас еще знаменатель

Только

x не может быть равен этому значению

Подставим в уравнение

Получим значение k, при котором уравнение не имеет смысла, знаменатель равен 0

При уравнение не имеет решений

Объединяем наши исследования

Уравнение имеет хотя бы одно решение

При и при k = 0

И не имеет при

Аналогичное задание

С5. Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение на отрезке

Применим так называемую «универсальную» тригонометрическую подстановку

По условию задачи тогда

Сделаем замену и выполним алгебраические преобразования

Необходимо, чтобы первое уравнение имело хотя бы один корень

При k # 0 уравнение не квадратное

Корни уравнения по формуле квадратного уравнения

Уравнение имеет корни при всех k

По теореме Виета

Корни разных знаков =-1/3< 0

Если оба положительные, то

Положительный корень должен быть больше 1

Решениенеравенства методом интервалов

Получаем интервалы (-¥;-2] [-2;0) (0;¥)

Решением неравенства будет интервал [-2;0)

Рассмотрим отдельно случай когда, k=0

При k=0 уравнение имеет решение

У нас еще знаменатель

Только

x не может быть равен этому значению

Подставим в уравнение

Получим значение k, при котором уравнение не имеет смысла, знаменатель равен 0

При уравнение не имеет решений

Объединяем наши исследования

Уравнение имеет хотя бы одно решение

При и при k = 0

И не имеет при