Первообразная функция

В дифференциальном исчислении по заданной функции приходилось отыскивать ее производную .

В интегральном исчислении рассматривается обратная задача: по заданной функции восстановить такую функцию , для которой была бы производной, т.е. .

Определение. Функция называется первообразной (функцией) для функции на интервале , если для всех значений x из этого интервала выполняется равенство

.

Примеры

1) Функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении выполняется равенство .

2) Функция является первообразной для функции на интервале , так как в любой точке x этого интервала .

Однако задача отыскания по данной функции её первообразной решается неоднозначно. Действительно, если – первообразная для , т.е. , то функция , где – произвольная постоянная, также является первообразной для , так как для любого числа .

Например, для первообразной является не только , но и функция , так как .

Возникает вопрос: если и – две первообразные для одной и той же функции , то всегда ли они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое? Оказывается, что это действительно так.

Теорема 1.1. Если и – две первообразные для функции на интервале , то , где – некоторая постоянная.

Доказательство. По условию и – первообразные для , поэтому

.

Рассмотрим функцию

.

Её производная

.

Для любых двух точек по теореме Лагранжа получаем

.

Так как , то . Это означает, что значения функции во всех точках интервала одинаковы, т.е. , где – некоторое число. Таким образом, или .

Следствие. Все первообразные для функции на интервале даются формулой , где – одна из первообразных для , а – произвольная постоянная.