Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием или методом разложения.

Пример

2. Метод подстановки (замены переменной). Метод, позволяющий с помощью введения новой переменной интегрирования свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, называется методом подстановки или методом замены переменной.

Метод основан на следующей теореме.

Теорема 1.3. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве T и пусть X – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве X функция имеет первообразную, то на множестве T справедлива формула замены переменной в неопределенном интеграле:

Доказательство. Пусть – первообразная для на множестве X. Рассмотрим на множестве T сложную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции, учитывая, что , получаем

т.е. функция имеет на множестве T первообразную и, следовательно,

Но

поэтому

Пример

Иногда формулу замены переменной полезно применять справа налево:

Пример

3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 1.4. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке X функция также имеет первообразную и справедлива формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

Доказательство. Из равенства

получаем

Первообразной функции на промежутке X является функция . Функция имеет первообразную на X по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на промежутке X. Интегрируя последнее равенство, получаем формулу интегрирования по частям.