Определение. Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной :
,
где p (x) и q (x) – заданные функции.
Метод решения. С помощью подстановки , где и – две неизвестные функции, уравнение преобразуется к виду
и сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из неизвестных функций u и v:
1) ; 2) .
Из первого уравнения определяем и, подставляя его во второе уравнение, определяем , после чего находим общее решение исходного линейного уравнения. При этом при решении первого уравнения полагаем аддитивную постоянную C равной нулю.
Пример. Решить уравнение
.
Используя подстановку , находим общее решение:
1)
2)
.