2015-04-23
1021
1) Уравнение вида 
.
Метод решения. Общее решение уравнения находится n -кратным интегрированием (последовательным взятием квадратур).
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Последовательно интегрируя почленно исходное уравнение три раза (беря квадратуры), находим общее решение:
,
,
.
2) Уравнение вида 
.
Метод решения. Уравнение не содержит явно искомой функции y и ее производных до порядка 
включительно, поэтому с помощью подстановки 
порядок уравнения понижается на k единиц:
,
так как
.
Если для вновь полученного уравнения можно найти общее решение
,
то общее решение исходного уравнения получается путем k -кратного интегрирования функции
.
В частности, если уравнение 2-го порядка не содержит y, то замена переменных 
приводит к уравнению 1-го порядка.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Так как исходное уравнение не содержит 
и 
, то сделаем подстановку 
. Тогда 
и из исходного уравнения 3-го порядка получаем уравнение 1-го порядка
,
которое является уравнением с разделяющимися переменными 
. Находим его общее решение
|
|
|
.
Теперь найдем общее решение исходного уравнения путем двукратного интегрирования функции
.
Получаем:
.
3) Уравнение вида 
.
Метод решения. Уравнение не содержит явно независимой переменной x, поэтомус помощью подстановки 
порядок уравнения понижается наединицу:
,
так как производные 
выражаются при этом через производные порядка не выше от p по y. Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции получаем
и т.д.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Так как исходное уравнение не содержит явно независимой переменной x, то сделаем подстановку . Тогда 
и из исходного уравнения 2-го порядка получаем уравнение 1-го порядка
,
которое является уравнением с разделяющимися переменными 
. Находим его общее решение:
;
.
Теперь найдем общее решение исходного уравнения:
;
