2015-04-23
7557
Определение. Уравнение вида
,
где x – независимая переменная, y – искомая функция, 
– ее производные, называется дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка.
Если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной 
, то оно принимает вид
и называется уравнением высшего порядка, разрешенным относительно старшей производной.
В дальнейшем будем рассматривать именно такие уравнения.
Пример. Уравнение высшего (третьего) порядка, разрешенное относительно старшей (третьей) производной:
.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения высшего порядка называется семейство функций
,
обращающих дифференциальное уравнение в тождество при любых значениях произвольных постоянных 
.
Определение. Общим интегралом дифференциального уравнения высшего порядка называется семейство функций
,
обращающих дифференциальное уравнение в тождество при любых значениях произвольных постоянных .
Определение. Частным решением дифференциального уравнения высшего порядка называется любая функция
,
получаемая из общего решения при задании определенных значений всем n произвольным постоянным: 
.
Определение. Частным интегралом дифференциального уравнения высшего порядка называется любая функция
,
получаемая из общего интеграла при задании определенных значений всем n произвольным постоянным: .
Определение. Условия, что при 
функция 
и ее производные 
должны равняться заданным числам 
соответственно, называются начальными условиями для дифференциального уравнения высшего (n -го) порядка:
, 
,
, 
,
, или 
,
………….. …………..
, 
.
Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее заданным начальным условиям
,
,
,
…………..
,
называется задачей Коши или начальной задачей для дифференциального уравнения высшего (n -го) порядка.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях, налагаемых на функцию 
, задача Коши имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .
Теорема 4.2 (теорема Коши) (без доказательства). Если в уравнении функция и ее частные производные первого порядка по аргументам 
определены и непрерывны в некоторой области 
, то, какова бы ни была внутренняя точка 
области D, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение 
данного уравнения, удовлетворяющее условиям
,
,
,
…………..
.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка
и выделить из полученного общего решения частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
.
Последовательно интегрируя почленно исходное уравнение (беря квадратуры), находим общее решение:
,
,
.
Это решение зависит от трех произвольных постоянных 
. Определим их, подставляя в полученные соотношения начальные условия:
;
;
.
Таким образом, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
.
Наряду с основной начальной задачей часто приходится решать так называемые краевые или граничные задачи. В этих задачах значения искомой функции и/или ее производных задаются не в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется определить решение. При этом число заданных краевых условий обычно равно порядку дифференциального уравнения. Для каждого класса краевых задач, как и для задачи Коши, требуется решать вопрос о существовании и единственности решения.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее на отрезке 
краевым условиям: 
.
Последовательно интегрируя почленно исходное уравнение (беря квадратуры), находим общее решение:
.
Это решение зависит от двух произвольных постоянных C 1 и C 2. Определим их, подставляя в полученные соотношения краевые условия:
;
.
Таким образом, искомое решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям, имеет вид
.
