Дифференциальные уравнения высшего порядка

Определение. Уравнение вида

,

где x – независимая переменная, y – искомая функция, – ее производные, называется дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка.

Если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной , то оно принимает вид

и называется уравнением высшего порядка, разрешенным относительно старшей производной.

В дальнейшем будем рассматривать именно такие уравнения.

Пример. Уравнение высшего (третьего) порядка, разрешенное относительно старшей (третьей) производной:

.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения высшего порядка называется семейство функций

,

обращающих дифференциальное уравнение в тождество при любых значениях произвольных постоянных .

Определение. Общим интегралом дифференциального уравнения высшего порядка называется семейство функций

,

обращающих дифференциальное уравнение в тождество при любых значениях произвольных постоянных .

Определение. Частным решением дифференциального уравнения высшего порядка называется любая функция

,

получаемая из общего решения при задании определенных значений всем n произвольным постоянным: .

Определение. Частным интегралом дифференциального уравнения высшего порядка называется любая функция

,

получаемая из общего интеграла при задании определенных значений всем n произвольным постоянным: .

Определение. Условия, что при функция и ее производные должны равняться заданным числам соответственно, называются начальными условиями для дифференциального уравнения высшего (n -го) порядка:

, ,

, ,

, или ,

………….. …………..

, .

Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее заданным начальным условиям

,

,

,

…………..

,

называется задачей Коши или начальной задачей для дифференциального уравнения высшего (n -го) порядка.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях, налагаемых на функцию , задача Коши имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .

Теорема 4.2 (теорема Коши) (без доказательства). Если в уравнении функция и ее частные производные первого порядка по аргументам определены и непрерывны в некоторой области , то, какова бы ни была внутренняя точка области D, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условиям

,

,

,

…………..

.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка

и выделить из полученного общего решения частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

.

Последовательно интегрируя почленно исходное уравнение (беря квадратуры), находим общее решение:

,

,

.

Это решение зависит от трех произвольных постоянных . Определим их, подставляя в полученные соотношения начальные условия:

;

;

.

Таким образом, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

.

Наряду с основной начальной задачей часто приходится решать так называемые краевые или граничные задачи. В этих задачах значения искомой функции и/или ее производных задаются не в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется определить решение. При этом число заданных краевых условий обычно равно порядку дифференциального уравнения. Для каждого класса краевых задач, как и для задачи Коши, требуется решать вопрос о существовании и единственности решения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее на отрезке краевым условиям: .

Последовательно интегрируя почленно исходное уравнение (беря квадратуры), находим общее решение:

.

Это решение зависит от двух произвольных постоянных C ₁ и C ₂. Определим их, подставляя в полученные соотношения краевые условия:

;

.

Таким образом, искомое решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям, имеет вид

.