Методом исключения неизвестных

Для интегрирования нормальной системы дифференциальных уравнений можно применить метод исключения неизвестных, с помощью которого данная нормальная система, содержащая n уравнений первого порядка относительно n искомых функций, сводится к одному уравнению n -го порядка относительно одной неизвестной функции.

Покажем применение метода исключения неизвестных на примере нормальной системы двух дифференциальных уравнений.

Пример. Найти общее решение системы

Дифференцируя одно из уравнений системы, например, первое, по x, находим

.

Подставляя в это равенство выражение для из второго уравнения системы, получим

.

Заменяя далее функцию ее выражением из первого уравнения системы

,

приходим к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции :

;

.

Характеристическое уравнение и его решения:

– пара комплексно сопряженных простых корней .

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

Дифференцируя полученное равенство, находим

.

Используя выражения для и , получим

.

Таким образом, функции

;

являются общим решением исходной нормальной системы дифференциальных уравнений.