Нормальная система дифференциальных уравнений

Определение. Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

относительно искомых функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Определение. Решением нормальной системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций ,

обращающих каждое уравнение системы в верное равенство (тождество).

Определение. Общим решением нормальной системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций

,

обращающих каждое уравнение системы в верное равенство (тождество) при любых значениях произвольных постоянных .

Определение. Частным решением нормальной системы дифференциальных уравнений называется любая совокупность функций

,

получаемая из общего решения при задании определенных значений всем n произвольным постоянным .

Определение. Условия вида

,

где – заданные числа, называются начальными условиями для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение нормальной системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее заданным начальным условиям

,

называется задачей Коши или начальной задачей для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях, налагаемых на функции , задача Коши имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой существования и единственности решения для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Теорема 5.1 (теорема Коши) (без доказательства). Если правые части уравнений нормальной системы определены и непрерывны в некоторой области и имеют в ней непрерывные частные производные

,

то, какова бы ни была внутренняя точка области D, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение нормальной системы, удовлетворяющее начальным условиям .