2015-04-23
2593
Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
где коэффициенты 
– заданные действительные числа.
Метод решения. Согласно теореме 4.3 общим решением 
на отрезке 
линейного однородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами является линейная комбинация
–линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения 
.
Для их нахождения составляется и решается характеристическое уравнение
,
получаемое заменой в исходном дифференциальном уравнении производных 
искомой функции степенями 
, причем сама функция 
заменяется единицей. Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение степени n.
Каждому из n корней характеристического уравнения соответствует одно из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, причем:
– каждому действительному простому корню k соответствует частное решение вида
;
– каждому действительному корню k кратности 
соответствуют частных решений вида
;
– каждой паре комплексных сопряженных простых корней 
и 
соответствует два частных решения вида
;
– каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности соответствуют 2 частных решений вида
.
Составляя линейную комбинацию из найденных частных решений, получаем общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Примеры
1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 
.
Характеристическое уравнение и его решения:
– два действительных простых корня.
Частные решения однородного дифференциального уравнения:
.
Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:
.
2) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
.
Характеристическое уравнение и его решения:
– двукратный действительный корень.
Частные решения однородного дифференциального уравнения:
.
Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:
.
3) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
.
Характеристическое уравнение и его решения:
– пара комплексно сопряженных простых корней 
.
Частные решения однородного дифференциального уравнения:
.
Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:
.
4) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
.
Характеристическое уравнение и его решения:
– двукратные комплексно сопряженные корни 
.
Частные решения однородного дифференциального уравнения:
.
Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:
.
