Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных

.

Функции называются коэффициентами уравнения. Функция называется правой частью уравнения.

Если , то уравнение называется линейным однородным уравнением или уравнением без правой части.

Если же , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением или уравнением с правой частью.

Примеры

– линейное однородное уравнение 3-го порядка.

– линейное неоднородное уравнение 2-го порядка.

Из определения линейного однородного уравнения и свойств линейности производных следует очевидное свойство решений линейного однородного уравнения: линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.

Из определения линейного неоднородного уравнения и свойств линейности производных следует очевидное свойство решений линейного неоднородного уравнения: сумма решений линейного неоднородного уравнения и соответствующего () однородного уравнения является решением неоднородного уравнения.

Выясним структуру общих решений линейного однородного уравнения и линейного неоднородного уравнения.

Теорема 4.3 (без доказательства). Общим решением на отрезке линейного однородного уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация

n линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения .

Теорема 4.4 (без доказательства). Общее решение на отрезке линейного неоднородного уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами и непрерывной правой частью равно сумме общего решения

соответствующего однородного уравнения

и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:

.