Решение. Так как дополнительные краевые условия аналогичны предыдущему примеру, вновь имеем , но, учитывая, что составим систему (56)

Так как дополнительные краевые условия аналогичны предыдущему примеру, вновь имеем , но, учитывая, что составим систему (56):

Решение этой системы будет

Значения коэффициентов , :

Таким образом, можно считать сплайн-интерполяцию построенной в виде

Для нахождения значения интерполирующей функции в заданной точке заметим, что , и поэтому используем многочлен : .

Рис. 3 График функции (сплошная кривая) и интерполирующий ее сплайн (пунктирная кривая).

Сравнивая примеры 7 и 8 обратим внимание на следующее: погрешность в последнем явно меньше. Связано это в первую очередь с тем, что интервал выбран в два раза меньше. Можно показать, для случая равноотстоящих узлов

где - промежуток интерполяции.

Интерполяция сплайнами сопряжена с немалым объемом вычислительной работы по сравнению с другими видами интерполяции. Однако эта трудность легко решается с помощью ЭВМ.

Контрольные вопросы и задачи

1. Дать определение истинной абсолютной и предельной абсолютной погрешностей приближенного числа. В чем их различие?

2. Найти предельную абсолютную погрешность числа числом .

3. Дать определение истинной относительной и предельной относительной погрешностей приближенного числа. В чем их различие?

4. Вывести формулу для определения предельной относительной погрешности приближенного числа.

5. Найти предельную относительную погрешность числа числом .

6. Выяснить, какое из приближенных равенств точнее: или .

7. Дать понятие значащей, верной цифр числа.

8. Записать число a=104,7032 в виде позиционной записи. Найти старший и младший разряды.

9. В числе найти верные цифры. Округлить приближенное число с сохранением верных цифр.

10. Вывести формулу для вычисления предельной абсолютной погрешности суммы (разности) двух приближенных чисел.

11. Даны числа ; ; . Найти приближение для точного числа . Вычислить погрешности; результат округлить с сохранением верных цифр.

12. Вывести формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей произведения (частного) двух приближенных чисел.

13. Чему равны .

14. Дано число . Выразить через числа и их предельные абсолютные погрешности.

15. Пусть . Выразить через и их предельные абсолютные погрешности.

16. Вывести формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей значения функции в точке.

17. Вывести формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей значений основных элементарных функций.

18. Дать алгоритм табулирования функции на заданном отрезке с заданным шагом.

19. Построить квадратичную интерполяцию Лагранжа, сплайн-интерполяцию и график функции на отрезке по трем ее значениям: , , . Найти остаточный член, оценить погрешность интерполяции по контрольной точке и сравнить ее с фактической (по таблицам).

№						№
			p/2	p	p/10				p/2	p	p/10
			p/4	p/2	p/10						2.5
											2.5
			p/4	p/3	p/6						2.5
			1/2		1/10				p/4	p/3	p/6
			1/2		1/10						2.5
		1/5	1/3	2/3	1/4						2.5
											2.5
			p/4	p/3	p/6
			p	2p	p/8						2.5
			p/4	p/2	p/8						2.5
					2.5						4.5
					2.5						2.5
					2.5						2.5
					2.5						5.5

21. Найдите многочлен, данные о котором представлены следующей таблицей:

№	x				№	x
1.					16.

№	x				№	x

Литература

1. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. - М.:Высш. шк., 2001.-382 с.

2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: «Наука», 1965,-424 с.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.2. – М.: «Наука», 1967.

4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М.: Физматгиз, 1962.

5. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. – М.: Изд-во МФТИ, 1995.

6. Краскевич В.Е. Численные методы в инженерных исследованиях. – Киев: Вища школа, 1986.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.-М.: «Наука»,1986.-544 с.

Учебное издание

Александр Борисович Дюбуа,

Светлана Николаевна Машнина

Сергей Александрович Нелюхин

Математический анализ: элементы теории погрешностей и полиномиальные интерполяции

Учебное пособие

Ответственный редактор Н. К. Кадуцков

Компьютерный набор и верстка

А. М. Казакова

Подписано в печать 03.09.2010 г.

Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman».

Усл. печ. л.4,7. Уч.-изд. л.3,75. Тираж 50 экз.

Отпечатано с готовых диапозитивов

В ООО фирма «Интермета»

г. Рязань, ул. Семинарская, 5, т. 25-81-76

[1] Термины «интерполяция» и «экстраполяция», впервые предложены в 1656 году английским математиком Джоном Уоллисом (J. Wallis), образованы от латинского “polire” – сглаживать, и различаются предлогами “inter” и “extra” – соответственно «между» и «внутри».

[2] Можно показать непосредственную связь между конечными разностями и производными, а именно. Доказательство этого положения предоставляем читателю.

[3] Легко убедиться, что форма будет единственной, обращающейся в нуль в узловых точках.