Так как дополнительные краевые условия аналогичны предыдущему примеру, вновь имеем , но, учитывая, что
составим систему (56):
Решение этой системы будет
Значения коэффициентов ,
:
Таким образом, можно считать сплайн-интерполяцию построенной в виде
Для нахождения значения интерполирующей функции в заданной точке заметим, что
, и поэтому используем многочлен
:
.
|

Сравнивая примеры 7 и 8 обратим внимание на следующее: погрешность в последнем явно меньше. Связано это в первую очередь с тем, что интервал выбран в два раза меньше. Можно показать, для случая равноотстоящих узлов
где - промежуток интерполяции.
Интерполяция сплайнами сопряжена с немалым объемом вычислительной работы по сравнению с другими видами интерполяции. Однако эта трудность легко решается с помощью ЭВМ.
Контрольные вопросы и задачи
1. Дать определение истинной абсолютной и предельной абсолютной погрешностей приближенного числа. В чем их различие?
2. Найти предельную абсолютную погрешность числа числом
.
3. Дать определение истинной относительной и предельной относительной погрешностей приближенного числа. В чем их различие?
4. Вывести формулу для определения предельной относительной погрешности приближенного числа.
5. Найти предельную относительную погрешность числа числом
.
6. Выяснить, какое из приближенных равенств точнее: или
.
7. Дать понятие значащей, верной цифр числа.
8. Записать число a=104,7032 в виде позиционной записи. Найти старший и младший разряды.
9. В числе найти верные цифры. Округлить приближенное число с сохранением верных цифр.
10. Вывести формулу для вычисления предельной абсолютной погрешности суммы (разности) двух приближенных чисел.
11. Даны числа ;
;
. Найти приближение
для точного числа
. Вычислить погрешности; результат
округлить с сохранением верных цифр.
12. Вывести формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей произведения (частного) двух приближенных чисел.
13. Чему равны .
14. Дано число . Выразить
через числа
и их предельные абсолютные погрешности.
15. Пусть . Выразить
через
и их предельные абсолютные погрешности.
16. Вывести формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей значения функции в точке.
17. Вывести формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей значений основных элементарных функций.
18.Дать алгоритм табулирования функции на заданном отрезке с заданным шагом.
19. Построить квадратичную интерполяцию Лагранжа, сплайн-интерполяцию и график функции на отрезке
по трем ее значениям:
,
,
. Найти остаточный член, оценить погрешность интерполяции по контрольной точке
и сравнить ее с фактической (по таблицам).
№ | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | № | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | p/2 | p | p/10 | ![]() | p/2 | p | p/10 | ||||
![]() | p/4 | p/2 | p/10 | ![]() | 2.5 | ||||||
![]() | ![]() | 2.5 | |||||||||
![]() | p/4 | p/3 | p/6 | ![]() | 2.5 | ||||||
![]() | 1/2 | 1/10 | ![]() | p/4 | p/3 | p/6 | |||||
![]() | 1/2 | 1/10 | ![]() | 2.5 | |||||||
![]() | 1/5 | 1/3 | 2/3 | 1/4 | ![]() | 2.5 | |||||
![]() | ![]() | 2.5 | |||||||||
![]() | p/4 | p/3 | p/6 | ![]() | |||||||
![]() | p | 2p | p/8 | ![]() | 2.5 | ||||||
![]() | p/4 | p/2 | p/8 | ![]() | 2.5 | ||||||
![]() | 2.5 | ![]() | 4.5 | ||||||||
![]() | 2.5 | ![]() | 2.5 | ||||||||
![]() | 2.5 | ![]() | 2.5 | ||||||||
![]() | 2.5 | ![]() | 5.5 |
21. Найдите многочлен, данные о котором представлены следующей таблицей:
№ | x | ![]() | ![]() | ![]() | № | x | ![]() | ![]() | ![]() |
1. | 16. | ||||||||
№ | x | ![]() | ![]() | ![]() | № | x | ![]() | ![]() | ![]() |
Литература
1. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. - М. :Высш. шк., 2001.-382 с.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: «Наука», 1965,-424 с.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.2. – М.: «Наука», 1967.
4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М.: Физматгиз, 1962.
5. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. – М.: Изд-во МФТИ, 1995.
6. Краскевич В.Е. Численные методы в инженерных исследованиях. – Киев: Вища школа, 1986.
7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.-М.: «Наука»,1986.-544 с.
Учебное издание
Александр Борисович Дюбуа,
Светлана Николаевна Машнина
Сергей Александрович Нелюхин
Математический анализ: элементы теории погрешностей и полиномиальные интерполяции
Учебное пособие
Ответственный редактор Н. К. Кадуцков
Компьютерный набор и верстка
А. М. Казакова
Подписано в печать 03.09.2010 г.
Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman».
Усл. печ. л.4,7. Уч.-изд. л.3,75. Тираж 50 экз.
Отпечатано с готовых диапозитивов
В ООО фирма «Интермета»
г. Рязань, ул. Семинарская, 5, т. 25-81-76
[1] Термины «интерполяция» и «экстраполяция», впервые предложены в 1656 году английским математиком Джоном Уоллисом (J. Wallis), образованы от латинского “polire” – сглаживать, и различаются предлогами “inter” и “extra” – соответственно «между» и «внутри».
[2] Можно показать непосредственную связь между конечными разностями и производными, а именно . Доказательство этого положения предоставляем читателю.
[3] Легко убедиться, что форма будет единственной, обращающейся в нуль в узловых точках.