Топологии электрических цепей

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения, который называется топологией цепи. Основными понятиями, используемыми при рассмотрении топологии цепей, являются следующие:

1) Ветвь – участок цепи, обтекаемый одним и тем же током. Направления токов изначально выбираются произвольно.

2) Узел – место соединения трех и более ветвей.

q = 4 – количество узлов;

p = 6 – количество ветвей.

Поскольку топологические или геометрические свойства цепей не зависят от типа, параметров и количества элементов, в них входящих, то каждую ветвь цепи можно заменить отрезком линии, и такое условное изображение схемы называется графом электрической цепи.

Отрезок, соединяющий 2 узла и соответствующий ветви схемы, называются ветвью графа. При этом узлам схемы соответствуют узлы графа.

Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным графом. Подграфом называется любая часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел, а также любое множество ветвей и узлов графа.

В теории цепей основными являются следующие подграфы:

1. Путь – упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние имеют один общий узел, и при этом каждая ветвь и каждый узел встречаются на этом пути только один раз. Например: 1-4-5, 2-4-6, 3-5-4, 6-4-2, 2-4, 2-5-6, 2-5, 4-2-3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным одновременно. Из рисунка 1 определим контуры: 1-4-5-3, 1-6-3, 4-5-6, 2-3-5. Если между любой парой узлов графа существует связь, то такой граф называется связным.

3. Дерево – связный подграф, содержащий все узлы, но ни одного контура.

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

(2-3, 1-4, 2-4).

5. Сечение – это множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых может быть отдельным узлом. Сечение можно изобразить в виде замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви.

Сечение S₁ отсекает 3,5,6 ветви; S₂ отсекает 1,2,5,6 ветви.

Любой ориентированный граф формально может быть описан при помощи так называемой матрицы соединений, состоящей из q-строк (количество узлов) и p-столбцов (количество ветвей). При этом на пересечении i-ой строки (i= ) и j-го столбца (j= ) будут находиться:

1. +1 – если ток втекает в i-й узел по ветви j.

2. -1 – если ток вытекает из i-ого узла по ветви j.

3. 0 - когда к i-му узлу ветвь не подсоединена.

→ М =

Такая матрица, состоящая из q-строк и p-столбцов, содержит линейно зависимые строки, т.е. сумма элементов любого столбца равна нулю. Это означает, что одна любая из строк является излишней, поскольку может быть получена путем линейной (любой) комбинации остальных. Следовательно, число независимых строк или узлов в любой схеме замещения: m = q - 1, поэтому для анализа графов используют редуцированные матрицы (М_р), полученные из исходной с помощью удаления любой строки.