double arrow

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени

Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение.

Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид:

ξ      
pi 0,12 0,46 0,42

Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (xi, pi).

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

Функцией распределения случайной величины

Определение.

  • Функцией распределения случайной величины ξ называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х: ξ = F (x) = p (ξi < x).

· Пусть ξ – случайная величина и x – произвольное действительное число. Вероятность того, что ξ примет значение, меньшее чем x, называется функцией распределения вероятностей.

Пример

Расстояние, которое пролетит пуля при выстреле из пистолета, есть случайная величина. Оно зависит от многих факторов. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (a, b)

Для того, чтобы одинаковым способом характеризовать случайные величины различной природы вводится понятие функции распределения вероятностей.

Если речь идет об одной случайной величине, то индекс можно опустить. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна.

Свойства функции распределения.

1) 0 ≤ F (x) ≤ 1.

Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F (x 2) ≥ F (x 1) при х 2 > x 1.

Это следует из того, что F (x 2) = p (X < x 2) = p (X < x 1) + p (x 1X < x 2) ≥ F (x 1).

3) В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [ a, b ], то F (x) = 0 при ха и F (x) = 1 при хb. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [ a, b ], равна разности значений функции распределения на концах интервала:

p (a < X < b) = F (b) – F (a).

Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F (x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.
Пример.

Найдем F (x) для предыдущего примера:

Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид:

 
 



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: