Пример. Построить закон распределения и вычислить функцию распределения случайной величины ξ – числа выпавших очков при подбрасывании кубика

Построить закон распределения и вычислить функцию распределения случайной величины ξ – числа выпавших очков при подбрасывании кубика.

Решение

Построим функцию распределения F(x).

Если x ≤ 1, то F(x) = 0.

Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 1/6.

Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 2/6.

Если 3 < x ≤ 4, то F(x) = 3/6.

Если 4 < x ≤ 5, то F(x) = 4/6.

Если 5 < x ≤ 6, то F(x) = 5/6.

Если 6 > x, то F(x) = 1.

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Функция распределения вероятностей является неслучайной функцией, вычисленной на основании закона распределения случайной величины.

Тема 7. Плотность распределения. Свойства функции и плотности распределения для непрерывных случайных величин.

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р (Х = а) = F (a) – F (a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальная функция).

Определение

Пусть функция распределения F_ξ (x) случайной величины ξ имеет производную.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины ξ называется производная функции распределения:

Функция f (x) - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины.

Функция f (x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле: f (x) = F′ (x) = (d/dx)* F(x)