Тема 6. Случайная величина. Функция распределения для дискретных случайных величин

Одним из важнейших понятий в т. в. является понятие случайной величины.

Определение:

• Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.
• Случайной величиной ξ, называется функция, определенная на множестве элементарных событий Ω (омега). Случайная величина является функцией элементарных исходов ω, поэтому говорят, что случайная величина – это величина, значения которой зависят от случая.

Пр.: Случайная величина – число выпавших очков, выпавших при броске игральной кости; Число появлений герба при 10 бросках монеты; Число выстрелов до первого попадания в цель; Расстояние от центра мишени до пробоины при попадании.

Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайных величин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно (соответственно 6 и 11 значений), для третьей величины множество значений бесконечно и представляет собой множество натуральных чисел, а для четвертой – все точки отрезка, длина которого равна радиусу мишени. Таким образом, для первых трех величин множество значений из отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой оно представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

Случайные величины будем обозначать греческими буквами, например ξ (кси), η (эта) и т.д., а их возможные значения малыми латинскими буквами.

Пример:

· При бросании игральной кости случайной величиной ξ будет число выпавших очков. Множество возможных значений ξ: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пример 17. Тестирование изделия до появления первого неисправного. Случайная величина η – число тестов, которое будет произведено. Множество возможных значений Ω = {1, 2, …} бесконечное, но счетное.

Законом распределения дискретной случайной величины ξ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически и графически.

Обычно для дискретной случайной величины ξ закон распределения изображается в виде таблицы:

События ξ = x₁; ξ = x₂,… несовместны и образуют полную группу, поэтому сумма всех вероятностей

p_i будет равна единице