Свойства плотности распределения

1) f (x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

2) , что следует из определения плотности распределения.

3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b)

определяется формулой

Действительно,

4) (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что а

5) так как при

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси О х, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [ a, b ], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [ a, b ] f (x) ≡ 0.

Пример.

Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой

Найти: а) значение константы С; б) вид функции распределения; в) p (-1 < x < 1).

Решение. а) значение константы С найдем из свойства 4:

откуда .

б)

в)

Пример 2. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти плотность распределения.

Решение.