Степенные ряды

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение Степенным рядом называется функциональный ряд

,

члены которого являются произведениями постоянных , ,..., ,... на степенные функции от разности с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x₀ называется центром степенного ряда.

Пример 19. Ряд – степенной ряд с центром в точке .

Ряд – степенной ряд с центром в точке .

Ряд – функциональный ряд.

Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является одним из главных вопросов. Решение этого вопроса связано с теоремой Абеля.

Теорема (Абеля)

1 Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих неравенству

.

2 Если степенной ряд расходится при , то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству

.