2015-04-23
400
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.
Определение Степенным рядом называется функциональный ряд
,
члены которого являются произведениями постоянных 
, 
,..., 
,... на степенные функции от разности 
с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x0 называется центром степенного ряда.
Пример 19. Ряд 
– степенной ряд с центром в точке 
.
Ряд 
– степенной ряд с центром в точке 
.
Ряд 
– функциональный ряд.
Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является одним из главных вопросов. Решение этого вопроса связано с теоремой Абеля.
Теорема (Абеля)
1 Если степенной ряд сходится при 
, то он сходится, и притом абсолютно, для всех 
, удовлетворяющих неравенству
.
2 Если степенной ряд расходится при 
, то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству
.
