Функциональный ряд и его область сходимости

Пусть , ,..., ,...– последовательность функций, определенных на некотором множестве .

Определение Ряд вида

,

членами которого являются функции, называется функциональным.

Придавая различные числовые значения из множества , будем получать различные числовые ряды. В частности, при функциональный ряд становится числовым рядом . Этот числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если он сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через . Очевидно, . В частных случаях множество может совпадать или не совпадать с множеством или же может быть и пустым множеством. В последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества .

Вид области для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях при исследовании функциональных рядов на сходимость можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если под x понимать фиксированное число.

Определения. Сумма первых членов функционального ряда называется ой частичной суммой, а функция , определенная в области ,– суммой функционального ряда. Функция , определенная в области , называется остатком ряда. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если в каждой точке сходится ряд .