Разложение элементарных функций в степенные ряды

Одной из центральныхзадач в теории степенных рядов является задача разложения элементарных функций в степенные ряды.

Постановка задачи. Пусть дана некоторая функция . Требуется установить:

1) может ли эта функция быть представлена на заданном интервале в виде некоторого степенного ряда, т.е. может ли быть «разложена в степенной ряд»?

2) если да, то как найти этот ряд?

Предположим, что для функции степенной ряд существует, т.е. имеет место разложение.

Найдем коэффициенты , , ,...

Если в последнее равенство подставить , то получим

Продифференцируем последовательно обе части равенства и, полагая в полученных равенствах , получим:

……. ……. …….

Следовательно, искомые коэффициенты степенного ряда вычисляются по формулам:

, , , , …, .

Подставив найденные коэффициенты, получим

– ряд Тейлора.

При имеем – ряд Маклорена.

Ответ на вопрос о возможности разложения функции в степенной ряд дает сформулированная ниже теорема. Предварительно представим в виде

,

где – остаточный член ряда, который может быть представлен в форме Лагранжа , заключено между и .

Теорема. Если функция разлагается в степенной ряд по степеням в окрестности точки , то этот ряд является рядом Тейлора.

Условия разложимости функции в степенной ряд:

1) должна иметь в интервале сходимости производные всех порядков.

2) ая частичная сумма ряда Тейлора должна стремиться к при , т.е. .

Условие 2 выполняется, если все производные ограничены, т.е. если существует такое число , что во всех точках интервала сходимости , .