Приближенное вычисление определенных интегралов

Многие практически нужные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, так как первообразная не может быть выражена через конечное число элементарных функций.

Однако, если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат области сходимости, то можно вычислить определенный интеграл с заданной степенью точности.

Пример 23. Вычислить с точностью 0,0001.

1) Разложим подынтегральную функцию в ряд:

, .

2) Проинтегрируем его почленно:

3) Получили знакочередующийся ряд. Для обеспечения требуемой точности достаточно взять сумму первых 7 членов, так как при

при .

4) Вычислим приближенно интеграл с одной запасной цифрой.

Округляя, получим .