2015-04-23
2061
Сравнительная простота разложения некоторых функций в степенные ряды привела к широкому их использованию в приближенных вычислениях. Наиболее часто используются следующие разложения элементарных функций в ряд Маклорена:
,
,
, (по определению 
).
,
.
Так как область сходимости первых трех рядов 
, то эти равенства справедливы для любого значения 
. Два последних ряда сходятся при 
.
За приближенное значение функции берется 
ая частичная сумма ряда Маклорена. При этом остаточный член ряда представляет собой абсолютную ошибку вычислений. Оценка остатка позволяет определить требуемое число слагаемых в частичной сумме.
Оценка остатка для знакочередующегося ряда проводится на основании признака Лейбница (абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемых членов ряда).
Оценка остатка для знакоположительных рядов обычно производится подбором легко суммируемого ряда, члены которого больше оцениваемого остатка. Чаще всего это геометрическая прогрессия.
|
|
|
Однако далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число, пригоден для фактического вычисления этого ряда (даже если члены просты и оценка остатка производится легко). Вопрос заключается в быстроте сходимости, т.е. в быстроте приближения частичной суммы к предельному значению. Например, ряды Маклорена для 
и 
удобны при малых 
, при больших эти ряды также сходятся, но медленно и для вычислений неудобны.
Пример 21. Вычислить число е, воспользовавшись рядом 
и взяв сумму первых пяти членов при 
. Оценить величину погрешности 
.
, 
. Оценим остаток данного ряда с положительными членами двумя способами.
I способ
Воспользуемся остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа
.
В нашем примере 
, 
, 
, 
. Поэтому
, 
.
II способ
Остаток ряда 
, т.е. после запятой оставляем две первые цифры
.
Следует отметить, что в данном примере второй способ оценки ошибки оказался более точным, что позволяет взять меньшее число членов ряда.
