Лекция 4. Тема:Механика жидкостей и газов

Тема: Механика жидкостей и газов

Вопросы: 1) Гидростатическое давление. Закон Паскаля. Закон

Архимеда

2) Стационарное течение. Условие неразрывности струи.

3) Уравнение Бернулли.

4) Внутреннее трение в жидкостях.

5) Движение тел в жидкостях и газах

1. В отличие от твердых тел жидкости и газы не сохраняют свою форму, а всегда принимают форму сосуда, в котором находятся. Однако они обладают упругостью и в состоянии равновесия давят на ограничивающую их поверхность.

Давление на данном участке поверхности – это отношение силы, действующей на данный участок, к площади этого участка . Единица измерения давления [p]= Н/м² = Па (паскаль).

В жидкостях и газах давление передается во все стороны и силы давления перпендикулярны к ограничивающей поверхности при любой ее ориентации (рис.4.1).

Рис.4.1

Силы давления, создаваемые гирей, равномерно распределены по поверхности соприкосновения, однако на нижнюю часть сосуда дополнительно давит сила тяжести самой жидкости.

В 17 веке Блез Паскаль установил, что при действии лишь поверхностных сил давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Это можно показать теоретически с помощью рис.4.2.

Рис.4.2

Выделим мысленно внутри жидкости цилиндр с осью АВ. Выделенный объем находится в покое, хотя на него тоже действуют силы давления со стороны остальной жидкости (создаются воздействием поршня). Для равновесия необходимо, чтобы силы давления на основания цилиндра были равны, значит давления в точках А и В одинаковые. Таким же образом можно рассмотреть точки В и С, С и D и показать, что во всех этих точках давление одинаково.

Закон Паскаля позволяет объяснить действие гидравлического пресса (рис.4.3)

Рис.4.3

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разного диаметра, соединенных трубкой и снабженных поршнями. Пространство под поршнями заполняется жидкостью. Пусть к малому поршню приложена сила F1, определим, какую силу F2 надо приложить ко второму поршню, чтобы сохранить равновесие. Можно в данном случае пренебречь давлением силы тяжести жидкости. Давление под первым поршнем , давление под вторым поршнем . Эти давления должны быть одинаковы: = , значит

,

т.е. сила F2 во столько раз больше силы F1, во сколько раз площадь второго поршня больше площади первого. Таким образом, при помощи гидравлического пресса малой силой можно уравновесить большую силу.

Рассмотрим теперь равновесие жидкости под действием вилы тяжести самой жидкости.

В открытом сосуде на поверхность действует атмосферное давление, одинаковое на всей открытой поверхности. Это поверхность равного давления, поэтому она находится на одном уровне (поверхность уровня). В сообщающихся сосудах все свободные поверхности принадлежат одной и той же поверхности уровня, поэтому находятся в одной плоскости (на одной высоте) (рис.4.4).

Рис.4.4

В глубине жидкости давление растет, т.к. к атмосферному давлению добавляется сила тяжести жидкости. Выделим мысленно тонкий вертикальный цилиндр в жидкости (рис.4.5) и рассмотрим условия его равновесия.

Рис.4.5

Равнодействующая сил, действующих на боковую поверхность цилиндра, равна нулю. Вдоль вертикали действуют три силы: сила давления на верхнее основание, равная pАS и направленная вниз, сила давления на верхнее основание, равная pВS и направленная вверх, а также сила тяжести жидкости в объеме цилиндра mg, направленная вниз. Массу жидкости в объеме цилиндра можно представить как m = ρV = ρSh, где ρ – плотность жидкости, а V – объем цилиндра.

Условие равновесия: pАS + ρgSh = pВS. Отсюда получается pВ – pА = ρgh. На поверхности жидкости давление столба жидкости равно нулю. Таким образом, гидростатическое давление на глубине h равно

p = ρgh.

Распределение давления по глубине зависит только от плотности жидкости и расстояния от верхнего уровня жидкости, но не зависит от формы сосуда (рис.4.6).

Рис.4.6

Из условия равновесия жидкости следует, что на тело, погруженное в жидкость, снизу действует большая сила давления, чем сверху. Этим объясняется плавание тел.

Рассмотрим в жидкости тело, имеющее форму параллелепипеда (рис.4.7). Силы, действующие на боковые грани, взаимно компенсируются. Силы, действующие на верхнее и нижнее основания равны соответственно

F1 = p1S = ρghS; F2 = p2S = ρg(h + H)S

Равнодействующая этих сил направлена вверх и равна

F = F2 – F1 = ρg(h + H)S – ρghS = ρgHS,

где HS = V объем тела, а ρ – плотность жидкости.

Рис.4.7

В результате получаем, что на тело действует направленная вверх сила F = ρg V.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная силе тяжести вытесненной этим телом жидкости.

Выталкивающая сила зависит от плотности жидкости. Так, в соленой воде плавать легче, чем в пресной. Если плотность тела больше, чем плотность жидкости, то тело тонет и наоборот, тела с меньшей плотностью выталкиваются на поверхность.

2. Рассматривая движение жидкостей и газов, мы не учитываем их атомного строения, т.е. вещество рассматривается как сплошная среда. Жидкости и газы сами не имеют определенной формы и принимают форму того сосуда, который заполняют. В отличие от газов, жидкости обладают малой сжимаемостью, однако в потоках газов изменениями их объема часто можно пренебречь и законы движения потоков жидкостей и газов оказываются одинаковыми. Рассмотрим эти законы на примере потоков жидкостей.

Жидкости, в которых отсутствуют силы трения, называются идеальными. Движение идеальной жидкости можно описать скоростью, с которой частицы жидкости проходят через каждую точку пространства, с помощью линий тока.

Линии тока – это такие линии, проведенные в движущейся жидкости, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частиц жидкости в этих точках (рис.4.8).

Рис.4.8

Густота линий тока, т.е. число линий, пересекающих перпендикулярную к ним единичную площадку, принимается пропорциональной величине скорости жидкости в данной точке. Поэтому картина линий тока позволяет судить как о направлении, так и о величине вектора скорости в разных точках потока жидкости.

Если картина линий тока остается неизменной во времени, то течение жидкости установившееся или стационарное. Стационарным называется такое течение, при котором любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одинаковым значением скорости. Линии тока при установившемся течении совпадают с траекториями частиц.

Стационарное течение газа или воды по трубам, каналам и рекам представляет собой довольно сложную картину. Анализ стационарного потока упрощается, если мысленно разбить текущую жидкость на тонкие трубки тока. Такая трубка тока образована поверхностью, проведенной через несколько линий тока, т.е. ее стенки образованы траекториями частиц.

Рассмотрим трубку тока переменного сечения (рис.4.9).

Рис.4.9

Обозначим площади поперечного сечения на концах трубки тока S1 и S2 (площадки S1 и S2 перпендикулярны к направлению движения потока). Через любое сечение за единицу времени в стационарном потоке проходит одинаковый объем жидкости, значит V1 = V2. За время Δt через S1 пройдут все частицы, находящиеся в момент начала отсчета времени на расстоянии v1 Δt, значит пройдет объем V1 = S1v1Δt. Через сечение S2 пройдет объем жидкости V2 = S2v2Δt. Из равенства этих объемов следует: S1v1Δt = S2v2Δt, т.е.

S1v1 = S2v2 =const.

Условие неразрывности струи: произведение скорости частиц на площадь поперечного сечения в любом месте потока имеет одинаковое значение. Значит, там, где поток сужается, скорость жидкости увеличивается, а в местах расширения потока скорость уменьшается (рис.4.10).

Рис.4.10

3. Изменение скорости частиц жидкости может быть вызвано только изменением давления вдоль потока. В широкой части давление возрастает, впереди давление больше и жидкость тормозится.

Выделим в потоке трубку тока переменного сечения, концы ее находятся на разной высоте от уровня, который принимается за нулевой (рис.4.11).

Рис.4.11

Выделим в жидкости малый объем ΔV1 на высоте h1. Через промежуток времени Δt выделенный объем ΔV2 окажется на высоте h2. Из-за неразрывности струи ΔV1 = ΔV2 = ΔV. Масса выделенного объема равна

m = ρΔV, где ρ – плотность жидкости (плотностью называется масса единицы объема вещества, кг/м³).

В начальный момент времени полная энергия выделенного объема жидкости равна Е1 = Екин + Епот; . Через время Δt полная энергия выделенного объема станет равной . Работа сил давления, приложенного к сечениям S1 и S2 равна A = p1 S1 Δ l1 – p2 S2 Δ l2 = (p1 – p2) ΔV. Изменение энергии идет на совершение этой работы:

- = (p1 – p2) ΔV.

Это выражение можно сократить на ΔV и после переноса получим

, т.е в установившемся потоке вдоль линии тока величины скорости, высоты и давления связаны соотношением, которое носит название уравнения Бернулли: .

Здесь - динамическое давление в потоке, - весовое давление, р –статическое давление. Если рассмотреть горизонтальный поток переменного сечения, то в нем будет отсутствовать весовое давление и уравнение Бернулли примет вид: . Уравнение показывает, что в тех точках, где скорость жидкости больше, давление меньше и наоборот.

4. В реальных жидкостях всегда присутствует внутреннее трение, на преодоление которого тратится энергия и которое затормаживает движение.

Рассмотрим две горизонтальные пластины в жидкости (рис.4.12), нижняя пластина закреплена с помощью пружины, а верхняя равномерно перемещается под действием внешней силы F, уравновешивающей силу трения.

Рис.4.12

Частицы жидкости, прилипшие к верхней пластине, движутся вместе с ней. В результате хаотического теплового движения часть молекул из этого слоя переходят в соседний слой жидкости и передают ему импульс направленного движения (молекулы соседнего слоя получают движение в том же направлении, но с меньшей скоростью). Так передается движение от слоя к слою и получают импульс частицы, прилипшие к нижней пластине и сама пластина, пружина растягивается. Значит, со стороны жидкости на пластины действует сила трения, которую на основании опыта можно представить формулой:

,

где S – площадь пластин, - градиент скорости, η – коэффициент внутреннего трения (вязкость) жидкости, зависящий от температуры и природы вещества. У жидкостей вязкость при нагревании уменьшается, а у газов увеличивается.