Лекция 5. Тема:Механические колебания

Тема: Механические колебания.

Вопросы: 1) Свободные гармонические колебания.

2) Затухающие колебания.

3) Вынужденные колебания. Резонанс.

4) Сложение гармонических колебаний

1. Колебания – это многократно повторяющийся процесс. В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Свободными, или собственными, называют колебания. совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Например, колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.

Гармонические колебания - это колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Колебания в технике часто близки к гармоническим или представляют собой наложение нескольких различных гармонических колебаний.

Простые гармонические колебания совершаются гармоническими осцилляторами, например, грузом на пружине (физический маятник), грузом на нити (математический маятник), маятником крутильных колебаний, изображенными на рис.5.1.

Рис. 5.1 Механические колебательные системы (гармонические осцилляторы)

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению.

Рассмотрим груз массы m, прикрепленный к пружине с коэффициентом упругости (жесткостью) k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис.5.2). Груз скользит по столу без трения (трение настолько мало, что им можно пренебречь).

Рис.5.2. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Если сдвинуть груз вправо на расстояние Х, возникает упругая сила Fупр = –kx (закон Гука). Эта сила возвращает груз в положение равновесия, вызывая его ускорение. Груз по инерции проскакивает положение равновесия, сжимает пружину и снова сила упругости возвращает груз к положению равновесия. Так возникают свободные колебания.

По второму закону Ньютона , или . Разделим полученное выражение на m: . Обозначим и получим второй закон Ньютона для свободных колебаний без трения в виде дифференциального уравнения . Иногда это уравнение записывают в виде решение такого дифференциального уравнения имеет вид x = Acos(ωt + φo) или x = Asin(ωt + φo). Это уравнения гармонического колебания. Если отсчет времени начинается из крайнего положения, то движение происходит по закону косинуса, а если отсчет начинается из положения равновесия, то – по закону синуса. В уравнении колебаний х – смещение точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение от положения равновесия; ωt + φo – фаза колебаний, т.е. угловая величина, характеризующая положение колеблющегося тела в момент времени t. Здесь ω – циклическая частота собственных колебаний системы (рад/с); для груза на пружине ; φo - начальная фаза, характеризует отклонение от положения равновесия в начальный момент времени.

Периодом колебаний Т называется время одного полного колебания (измеряется в секундах). Частота колебаний υ – это число колебаний в единицу времени (в секунду). υ = 1/Т. Единица измерения частоты [υ] = 1/c = Гц (герц).

Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями: ω = 2πυ; ω = 2π/Т.

На рис.5.3 приведены графики колебательных процессов двух систем (красный и голубой цвета). Физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω или период T (рис.5.3, b). Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда А и начальная фаза φо, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Рис.5.3. Во всех трех случаях для синих кривых φо = 0:

а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x'm > xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T' = T / 2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы.

Каждое колебание характеризуется своей амплитудой, частотой и начальной фазой. С ними связаны скорость и ускорение колеблющегося тела (рис.5.4).

Пусть уравнение колебаний имеет вид x = Acos(ωt + φo).

Скорость определяется по формуле

, а ускорение определяется по формуле

Рис.5.4 Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания

Из уравнений и приведенных графиков видно, что скорость и смещение тела изменяются в противофазе: скорость максимальна при х=0 и скорость равна нулю при максимальном отклонении от положения равновесия. Ускорение максимально при максимальном смещении, но направлено в противоположную сторону по отношению к смещению (имеет знак «минус»).

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются.

Кинетическая энергия колеблющегося тела массой m равна

.

При sin (ωt + φo)= 1скорость максимальна и кинетическая энергия имеет максимальное значение .

Потенциальная энергия упругой деформации пружины равна

.

При cos (ωt + φo)= 1потенциальная энергия имеет максимальное значение .

Полная энергия колебаний тела

.

При отсутствии трения полная энергия остается постоянной, а потенциальная и кинетическая энергии два раза за период колебаний достигают максимальных значений (рис.5.5).

1

Рис.5.4. Превращения энергии при свободных колебаниях.

2. Если колебания происходят в среде, энергия расходуется на работу против сил трения, превращается в тепло и колебания затухают. Затухающими называются такие колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается до нуля (рис.5.5).

Рис.5.5. Затухающие колебания.

Пусть теперь на тело рис.5.2 действует сила упругости и сила трения. Сила упругости вызывает движение тела, а сила трения направлена против движения и при небольших скоростях пропорциональна скорости: Fтр = kтр V. Уравнение движения по второму закону Ньютона имеет вид: m a = Fупр. – Fтр. или

. После преобразований получим выражение

,

где - коэффициент затухания, характеризующий быстроту уменьшения амплитуды во времени; – циклическая частота собственных колебаний тела.

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания или временем релаксации: . Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:

Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы. Добротности механических колебательных систем могут быть очень высокими – порядка нескольких сотен и даже тысяч. Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл, характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения в течение времени, равном одному периоду колебаний.

3. Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0.

Пусть внешняя сила F = Fo cos ωt, где Fo – амплитуда силы. Уравнение движения имеет вид

m a = -kx – kтрV+ Fo cos ωt.

Опыт показывает, что колебания происходят с частотой внешней силы ω.

Уравнение колебаний x = Вcos(ωt + φo). Амплитуда вынужденных колебаний

.

При малом затухании .

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. При резонансе система пополняется энергией дважды за период. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис.5.6).

Рис.5.6 Резонансные кривые при различных уровнях затухания:

1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает;

2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различным затуханием: β4 > β3 > β2.

4. Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть ω1 ≈ ω2, и пусть для определенности ω1 < ω2. Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

Полученное результирующее колебание не является гармоническим; такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

Х

Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот ω2 – ω1 мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот - частотой биений (циклической).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

Если, например, сложим два колебания с одинаковыми частотами

то, исключив время, получим:

В общем случае это - уравнение эллипса, при A₁=A₂ - окружность, Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.