Синтез пассивных двухполюсников

Классическая задача синтеза электрических двухполюсников формулируется следующим образом: задана некоторая входная функция цепи: Z(p) – сопротивление или Y(p) – проводимость, причем выполняются все условия, гарантирующие принадлежность ее к функциям физически реализуемых устойчивых двухполюсников. Требуется синтезировать электрическую цепь с заданной входной характеристикой.

В исходной информации, с которой начинается синтез двухполюсника, не содержится сведений о структуре будущей цепи, поэтому при синтезе заранее выбирают ту или иную структуру. Поскольку процедура синтеза неоднозначна, то может быть несколько вариантов реализации одной и той же входной функции. Тогда предпочтителен выбор в некотором смысле оптимального варианта, например, цепи с минимальным числом элементов.

Основная идея синтеза. Любой метод синтеза двухполюсника основан на том, что заданная функция Z(p) или Y(p) подвергается ряду последовательных упрощений. На каждом этапе выделяется определенное выражение, которое может быть однозначно сопоставлено с физическим элементом цепи. Характер выполняемых преобразований заранее устанавливается выбранной структурой цепи. Простейшие структуры, которые будут рассмотрены далее, приведены на рис. 7.1.

Z₁ Z₂ Z₁ Z₂

Z_n Y₁ Y₂ Y_n

a) в)

Z₁ Z₂

Y₁ Y₂ Y_n Y₁ Y₂ Y_n

б) г)

Рис. 7.1 – Некоторые структуры синтезируемых двухполюсников

Легко видеть, что в случае а) Z(p) = Z₁ + Z₂ +... + Z_n; (7.8)

в случае б) Y(p) = Y₁ + Y₂ +... + Y_n. (7.9)

Двухполюсники, изображенные на рис. в) и г), называются лестничными цепями.

Для случая в)

(7.10)

для случая г)

(7.11)

Выражения (7.10) и (7.11) называют цепными или непрерывными дробями.

Если все компоненты Z₁, Z₂,..., Z_n и Y₁, Y₂,..., Y_n идентифицированы с некоторыми физическими элементами цепи, то задача синтеза двухполюсника решена.

Синтез реактивных двухполюсников. Изучим основные приемы синтеза линейных пассивных двухполюсников на примере чисто реактивных цепей, образующихся из элементов типа L, C. В этом случае строго соблюдается следующее условие: любая реализуемая функция, Z(p) или Y(p), может быть представлена как входная функция цепей, изображенных на рис. 7.1. Двухполюсники реактивного типа со структурами а) или б) принято называть цепями Фостера, а варианты в) и г) - цепями Кауэра.

Метод синтеза по Фостеру является нестрогим (неформализованным) методом и допускает выполнение любых преобразований в любой последовательности, целью которых является разбиение исходной заданной функции на элементарные составляющие. Основными такими преобразованиями являются следующие: деление полиномов, разбиение на элементарные дроби и взаимные переходы от сопротивления к проводимости.

Пример: Z(p) = = = (после деления полиномов) = + ; где – это катушка индуктивности с =1Гн, последовательно соединенная с остальной схемой.

m = 4; n = 3 → индуктивный характер цепи; находим нули и полюса:

= ; ;

= ; - поскольку все нули и полюса являются мнимыми, синтезируемый двухполюсник будет чисто реактивным.

Для полученного остатка используем разложение на элементарные дроби:

Z(p) = = = + = ; тогда:

A + B = 22; 4A = 25;

A = ; B = ; C = 0;

Z(p) = + + , где – конденсатор с = Ф, также последовательно соединенный с катушкой и остальной схемой.

В оставшейся части перейдем к проводимости: = , тогда:

Y = = = + , где конденсатор с = Ф; катушка с = Гн, параллельно соединенные между собой (проводимость) и последовательно с остальной схемой. Тогда синтезируемая схема двухполюсника будет иметь вид:

Метод Кауэра является достаточно строгим, формализованным методом и состоит из чередования двух процедур: деления и обращения остатка. Для того, чтобы синтезировать реактивный двухполюсник по методу Кауэра, нужно представить заданное входное сопротивление (или проводимость) в виде непрерывной дроби и сопоставить полученное выражение с заданными лестничными структурами вида 3 или 4.

Z(p) = + = + = + = = + ; где:

– катушка с индуктивностью = 1Гн; - конденсатор с ёмкостью = Ф;

- катушка с индуктивностью = Гн; - конденсатор с ёмкостью = Ф.

Тогда схема двухполюсника по методу Кауэра будет иметь вид:

На данном примере очевидна многовариантность синтеза двухполюсников – заданная входная функция может быть реализована одинаково правильно разными схемами с разными номиналами элементов. Цепи, реализующие заданное входное сопротивление или проводимость при минимальном числе элементов, называются каноническими. Применительно к реактивным двухполюсникам доказано, что именно этим свойством обладают как цепи Фостера, так и цепи Кауэра. Если N – число пар особых точек (нулей и полюсов) входной функции, не равных нулю и бесконечности, то каноническая цепь содержит (N + 1) реактивных элементов.

Однако при практическом синтезе следует иметь в виду, что при разложении функций Z(p) или Y(p) на сумму простейших слагаемых или в цепную дробь возможно получение отрицательных коэффициентов. Это означает, что выбранный путь приводит к нереализуемой цепи и поэтому следует воспользоваться другим возможным способом, например, в методе Кауэра начинать деление не с высших, а с низших степеней. Может случиться, что при синтезе RLC-цепи общего вида ни один из предлагаемых способов не приводит к цели. Это означает, что такая входная функция в принципе не может быть реализована в классе рассмотренных здесь простейших структур, и следует обратиться к более сложным структурам. Можно лишь утверждать, что искомая цепь существует, поскольку согласно фундаментальной для теории цепей теореме Дарлингтона любая физическая допустимая входная функция реализуется как входное сопротивление или проводимость некоторого чисто реактивного пассивного четырехполюсника, нагруженного на единственный резистор. Поиск подходящих структур является наиболее сложным моментом при синтезе цепей.