ФНЧ. Фильтр Баттерворта

Фильтры нижних частот (ФНЧ) предназначены для передачи с минимальным ослаблением колебаний, частоты которых не превосходят заданной граничной частоты, называемой частотой среза w_c фильтра. При этом колебания с более высокими частотами должны существенно ослабляться.

Этапы синтеза фильтров. Синтез частотно-избирательных цепей обычно начинается с формулировки технических требований к частотным характеристикам. Например, для ФНЧ с частотой среза w_c идеальная АЧХ имеет вид:

При этом никаких ограничений на ФЧХ не налагается. Такой подход называется синтезом фильтра по заданной амплитудно-частотной характеристике. Однако идеальная частотная характеристика заведомо нереализуема. Поэтому второй этап синтеза состоит в аппроксимации идеальной характеристики с помощью такой функции, которая может принадлежать физически реализуемой цепи. Заключительным этапом синтеза является реализация выбранной частотной характеристики и получение принципиальной схемы фильтра вместе с номиналами входящих в нее элементов.

Наибольшее распространение получили два способа аппроксимации частотных характеристик: максимально-плоская и чебышевская, которые и будут рассмотрены ниже.

Максимально-плоская аппроксимация. Этот способ аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ построен на использовании коэффициента передачи мощности:

K_p(w_н) = 1/(1 + w_н²ⁿ), (8.7)

где w_н = w/w_c – безразмерная нормированная частота. ФНЧ, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта. Целое число n = 1, 2, 3, …, называется порядком фильтра. В полосе пропускания фильтра, т.е. при 0 £ w_н £ 1, коэффициент передачи мощности плавно уменьшается с ростом частоты. На частоте среза (w_н = 1) ослабление, вносимое фильтром, составляет 10 lg 0,5» - 3 дБ независимо от порядка системы. Чем больше n, тем точнее аппроксимируется идеальная форма частотной характеристики. Порядок фильтра обычно подбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами w > w_c.

Рис. 8.8 – ЧКПМ фильтра Баттерворта.

Передаточная функция фильтра с максимально-плоской частотной характеристикой. Для последующего синтеза структуры цепи необходимо от коэффициента передачи мощности из (8.7) перейти к передаточной функции К(р). С этой целью введем нормированную комплексную частоту р_н = s_н + jw_н и запишем (8.7) в виде:

(8.8)

Отсюда видно, что на плоскости р_н функция К_р(р_н), отвечающая ФНЧ с характеристикой Баттерворта n-го порядка, имеет 2n полюсов, которые являются корнями уравнения

1 + (-1)ⁿ p_н²ⁿ = 0. (8.9)

Все эти корни лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. При n = 1 полюсы коэффициента передачи мощности находятся из уравнения р_н² = 1, т.е. р_н1 = 1, р_н2 = -1; при n = 2 уравнение р_н⁴ = 1 имеет четыре корня: exp(jp/4), exp(j3p/4), exp(j5p/4), exp(j7p/4). И, наконец, для фильтра третьего порядка необходимо решить уравнение р_н⁶ = 1, которое имеет шесть корней: 1, -1, exp(jp/3), exp(j2p/3), exp(j4p/3), exp(j5p/3). Расположение корней на комплексной плоскости для приведенных случаев показано на рис. 8.9.

Рис. 8.9 – Расположение полюсов для n = 1, 2, 3.

Для нахождения корней используют либо формулу Муавра (корень из комплексного числа, учитывая что фаза комплексного числа (-1) равна π), либо следующую закономерность: при любом порядке фильтра n все полюсы расположены на одинаковом угловом расстоянии друг от друга, равном p/n; если n - нечетное число, то первый корень р_н1 = 1, если n четно, то р_н1 = exp(jp/2n).

При синтезе фильтра используется следующее свойство расположения полюсов коэффициента передачи мощности: они имеют квадрантную симметрию, т.е. их число и конфигурация расположения в обеих полуплоскостях одинаковы. Это позволяет считать, что только полюса, расположенные в левой полуплоскости, отвечают синтезируемому фильтру. Их «зеркальная копия» в правой полуплоскости соответствует функции К(-р) и не принимается во внимание. На этом принципе основана дальнейшая реализация цепи.