Аналитические свойства входного сопротивления линейного пассивного двухполюсника

Теория цепей может быть разделена на две тесно связанные между собой основные области - анализ и синтез. Задача анализа – нахождение внешних характеристик системы, структура которой задана заранее в виде принципиальной схемы. Задача синтеза – диаметрально противоположна – по исходной внешней характеристике, например, частотному коэффициенту, необходимо определить оптимальную структуру цепи, реализующей данную характеристику. Критерии оптимальности при этом могут быть различными: либо минимально возможное количество элементов в цепи, либо малая чувствительность цепи к выбору номинала элементов.

Расположение нулей и полюсов. Пусть U(p) и I(p) - изображения напряжения и тока в двухполюснике. Их отношение Z(p) = U(p) / I(p) является входным сопротивлением, определенным во всей плоскости комплексной частоты. При этом

(7.1)

где Z₀ - произвольный масштабный множитель.

Нули (z₁, z₂,..., z_m) и полюсы (p₁, p₂,..., p_n) входного сопротивления двухполюсника должны быть такими, чтобы рассматриваемая система, по условию не содержащая внутри себя источников, непрерывно подводящих энергию, была абсолютно устойчивой.

Пусть зажимы элемента разомкнуты (холостой ход) и на них имеется некоторое напряжение. Поскольку ток в цепи отсутствует, то поведение двухполюсника описывается характеристическим уравнением

I(p) / U(p) = 1/ Z(p) = 0, (7.2)

корнями которого служат полюсы входного сопротивления Z(p). Любое напряжение на зажимах двухполюсника, находящегося в режиме холостого хода и обладающего некоторым запасом энергии в реактивных элементах, описывается формулой:

(7.3)

где А₁,..., А_n - коэффициенты, находимые из начальных условий. Условием устойчивости системы служит неравенство:

Re (p_i) < 0, i = 1, 2,..., n. (7.4)

Аналогично, рассматривая тот же двухполюсник в режиме короткого замыкания, когда U(p) = 0, I(p) ¹ 0, получим второе характеристическое уравнение

U(p) / I(p) = Z(p) = 0. (7.5)

Его корни - это нули входного сопротивления, которые должны удовлетворять условию:

Re (z_i) < 0, i = 1, 2,..., m. (7.6)

Таким образом, как полюсы, так и нули входного сопротивления абсолютно устойчивого пассивного линейного двухполюсника должны лежать только в левой полуплоскости комплексной частоты р. При этом данные точки всегда либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Предельным идеализированным случаем является чисто реактивный двухполюсник. Отсутствие омических потерь в нем ведет к тому, что нули и полюсы располагаются здесь только на мнимой оси jw.

Теорема о числе нулей и полюсов. Дополнительные сведения о характере функции Z(p) дает следующая важная теорема: числа нулей и полюсов входного сопротивления пассивного двухполюсника не могут отличаться более чем на единицу.

В теории цепей функция Z(p), аналитическая в правой полуплоскости и имеющая неотрицательную вещественную часть на мнимой оси jw, носит специальное название положительной вещественной функции.

Наглядная формулировка данной теоремы состоит в следующем: при стремлении частоты к бесконечности любая пассивная цепь ведет себя либо как резистор (степени числителя и знаменателя в (7.1) совпадают), либо как конденсатор (степень знаменателя на единицу превышает степень числителя), либо как индуктивный элемент (при обратном соотношении).

Связь между вещественной и мнимой частями входного сопротивления. При вещественных частотах w входное сопротивление двухполюсника, образованного параллельным соединением элементов R и L, выражается следующим образом:

Стоит обратить внимание на то, что значения R и L входят одновременно как в вещественную, так и в мнимую части входного сопротивления.

Цепи, составленные таким образом, что каждый из входящих элементов влияет и на вещественную, и на мнимую части Z(jw), принято называть цепями минимального сопротивления. Для цепей этого класса устанавливается однозначная связь между функциями R(jw) и X(jw) при вещественных значениях угловой частоты, а именно: вещественная и мнимая части входного сопротивления двухполюсника связаны между собой парой интегральных преобразований Гильберта:

(7.7)

Входное сопротивление реактивных двухполюсников. Важное положение теории цепей, называемое теоремой Фостера, касается частотных свойств входных сопротивлений чисто реактивных двухполюсников: если Z(jw) = jX(jw), то реактивное сопротивление является неубывающей функцией, т.е. dX/dw > 0.

Следствием этой теоремы являются утверждения о том, что:

1) точки р = 0 и р = ¥ есть особые точки (нули или полюсы входного сопротивления);

2) на оси jw нули и полюсы расположены в чередующемся порядке.

При синтезе электрической цепи обязателен предварительный анализ свойств функции Z(p) для того, чтобы отвергнуть заведомо не реализуемые характеристики.