Оптимальность по Парето

Итак, каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск, следовательно, имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения.

Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А – некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е(а), r(a) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать a > b, если Е(а) > Е(b) и r(a) < r(b) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция a называется доминирующей, а операция b – доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

Имеет место чрезвычайно важное утверждение.

Утверждение. На множестве Парето каждая из характеристик Е, r – (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной её характеристике можно однозначно определить другую.

Рис. 7

Если точки, обозначающие операции, расположены на плоскости

риск R / эффективность Q, как показано на рис.7, то множество оптимальности по Парето состоит из операции 3.

В условиях полной неопределенности часто применяется правило Лапласа равновозможности: при этом все неизвестные вероятности p_j считают равными. После этого выбирается какое-нибудь из двух приведенных выше правил – рекомендаций принятия решений, т.е. правило максимизации среднего ожидаемого дохода или правило минимизации среднего ожидаемого риска.