2015-04-30
678
Между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций существует связь, которая может быть установлена только экспериментальным путём. Для большинства материалов при умеренных напряжениях эта связь может быть принята линейной, т.е. может быть принят закон Гука, который для одноосного состояния запишется 
.
Воспользуясь этим соотношением и принципом независимости действия сил, получим закон Гука для трёхосного напряженного состояния.
Рассмотрим малый элемент параллелепипеда. Пусть на элемент действует только напряжение 
, а 
, тогда деформации в направлении координатных осей будут равны
; 
.
При 
, 
: 
; 
.
При 
, 
: 
; 
.
Деформация удлинения в направлении оси 
при совместном действии всех напряжений будет равна
.
Аналогичным образом определятся деформации в направлении других координатных осей. Подставляя выражения для 
, после очевидных преобразований получим три уравнения
, 
,
.
Добавим к этим уравнениям ещё три соотношения, вытекающие из закона Гука при чистом сдвиге
|
|
|
; 
; 
.
Три упругие постоянные: модуль упругости 
, модуль сдвига 
и коэффициент Пуассона 
не являются независимыми. Они связаны между собой соотношением
.
Шесть полученных уравнений, связывающих между собой компоненты тензоров напряжений и деформации, составляют так называемый обобщённый закон Гука.
