Теорема 1: (необходимый признак числовой последовательности):
если последовательность сходится, то она ограничена., если последовательность неограниченна, то она расходится.
Теорема Вейерштрасса: сформируем достаточный признак числовой последовательности: всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.
Теорема: если две последовательности {xn}и {yn} сходятся, т.е. имеют конечные пределы, то сходятся также сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей, т.е.:
=> и тд.
Теорема: если и начиная с некоторого номера выполняется неравенство xn yn, то а b.
Доказательство:
допустим, что а>b. Из равенств следует, что для любого >0 найдется такое натуральное число N(), что при всех n>N() будут выполняться неравенства и т.е.
и . Возьмем . Тогда: отсюда следует, что xn>yn, это противоречит условию xn yn следовательно, а b.