Введем новую переменную

. (*)

Увеличивая , как бы отодвигаем влево мнимую ось Im на величину . При некотором значении , система в новой переменной теряет устойчивость. Это означает, что мнимая ось натыкается на ближайший к мнимой оси корень системы, что позволяет определить степень устойчивости исходной системы.

Из выражения (*) получим следующее:

Подставим последнее соотношение в исходное характеристическое уравнение:

где - некоторые функции, зависящие от коэффициентов характеристического уравнения и .

Составим матрицу Гурвица:

, (**)

где - () – диагональный минор матрицы.

Соотношение (**) может выполняться в двух случаях, если или .

1) Если первым обращается в ноль , то это означает, что есть корень , откуда получим, что . Т.е. ближайшим к мнимой оси будет вещественный отрицательный корень.

2) Если первым обращается в ноль , то ближайшим к мнимой оси будет комплексно-сопряженный корень.

Функции можно найти, разложив полином в ряд Тейлора в окрестности точки .

Пример: задано следующее характеристическое уравнение

необходимо найти степень устойчивости системы .

Составим матрицу Гурвица:

Из последней системы найдем значение (вещественные положительные значения):

Применение смещенного уравнения целесообразно применять в системах высокого порядка. Если основное влияние на переходный процесс оказывает только ближайший к мнимой оси корень и он некратный, то длительность переходного процесса определяется следующим образом:

, .