Расчет динамических характеристик привода

Задачи расчета. Главный привод станка при обработке детали нагружен крутящим моментом, который вследствие особенностей кинематики процесса резания, переменности припуска на детали и физико-механических свойств ее материала изменяется во времени. В результате в нем возникают крутильные колебания, обусловливающие динамические нагрузки, появление изгибных колебаний, снижение производительности обработки, уменьшение долговеч­ности станка, а в некоторых случаях и потерю устойчивости его динамической системы. С целью обеспечения требуемого качества станка динамические ха­рактеристики привода рассчитывают при его проектировании и производят корректировку конструкции.

Составление расчетной схемы привода. Представим, что конструкция при­вода разработана в соответствии с кинематической схемой, изображенной на рис. 4.13, д. Необходимо произвести его динамический расчет и анализ.

Определяем моменты инерции всех вращающихся элементов привода. Мо­мент инерции (кг.м²) детали, являющейся сплошным телом вращения, опре­деляется по зависимости

где плотность материала детали, кг/м³; диаметр и длина детали, м.

Момент инерции ступенчатого вала

где и - диаметр и длина;'-й ступени; я - число ступеней.

Момент инерции роторов двигателей и муфт можно вычислить, исходя из найденного по каталогу махового момента GD²:

Детали длиной до 1,5—2 их диаметра принимают в качестве сосредоточен­ных масс. В рассматриваемой конструкции это ротор электродвигателя 1, шкивы 2 и 3, блоки зубчатых колес 4 и 5, патрон 6.

Валы являются распределенными массами. При длине вала до 300 мм к моментам инерции находящихся на нем сосредоточенных масс присоединяют треть момента инерции вала. После этого расчетная схема привода по рис. 4.13, а может быть представлена в виде сосредоточенных масс 1, 2,..., 6 с мо­ментами инерции

где моменты инерции сосредоточенных масс; моменты инерции участков ва­лов, примыкающих к этим массам.

Длинные валы разби­вают на ряд участков и, по­вторяя несколько раз опи­санную процедуру, присоединяют их моменты инерции к сосредоточенным массам.

Находим крутильную податливость элементов при­вода. Крутильную податли­вость валов определяют по зависимостям, приведенным в табл. 4.7. Неравномерность распределения крутящего момента М вдоль ступицы зубчатого колеса, насажен­ного на шлицевый вал, учи­тывается путем использова­ния его расчетной длины / [44]. Для валов, образую­щих с зубчатыми колесами соединения с зазором и имеющих размеры в соот­ветствии с рис.4.13,6

При наличии соединений с натягом

В случае шпоночного соединения

,

Крутильная податливость ременной передачи связана с расчетной длиной ветви между шкивами:

где L - межосевое расстояние,м; D₁ и D₂ —диаметры шкивов, м; скорость ремня, м/с;

коэффициент, учитывающий условия работы передачи: , когда окружная сила Р вдвое больше силы предварительного натяжения при модуль упругости ремня, МПа (модуль упругости зубчатых ремней со стальным кордом, клиновых ремней со шнуровым кордом, плоских полимерных ремней соответственно равен 6000..35000МЩ, 600... 800,2200...3800 МПа); F — площадь поперечного сечения ремня, м². Крутильная податливость асинхронного электродвигателя

где число пар полюсов двигателя; кратность максимального момента; номинальный момент двигателя, Н∙м.

Крутильная податливость зубчатой передачи обусловливается не только изгибом и контактной деформацией ее зубьев, но и дополнительным поворо­том колес, который является следствием деформации опор и изгиба валов.

Составляющая крутильной податливости пары зубчатых колес, обуслов­ленная изгибной и контактной деформацией их зубьев,

где коэффициент, для прямозубых колес равный 6, для косозубых — 3,6;

угол зацепления передачи.

Деформация опоры вала слагается из упругой деформации подшипника качения и деформации стыков между поверхностями внутреннего кольца под­шипника и вала, а также наружного кольца и отверстия в корпусе.

Деформация, (м) однорядного шарикоподшипника

где. d — внутренний диаметр подшипника, м; Р — нагрузка на опору, Н. Деформация роликового подшипника без предварительного натяга

где коэффициент: для роликового подшипника нормальной серии к = 0,52, для подшипника широкой серии для подшипника с короткими роликами для двухрядного роликоподшипникадля подшипников с предварительным натягом значение к следует уменьшить в 2 раза.

Суммарная деформация стыков между поверхностями колец подшипни­ка, вала и корпуса

(4.7)

где b и D— ширина и наружный диаметр подшипника, м.

Вектор перемещения k- гo зубчатого колеса, обусловленного деформацией опор вала,

Перемещения и зубчатых колес пары, обусловленные суммарными прогибами и валов в сечениях, где расположены зубчатые колеса,

где и - перемещения зубчатых колес передачи, вызванные деформациями опор валов.

Вектор относительного перемещения зубчатых колес передачи

Крутильная податливость (рад/(Н-м)) зубчатой передачи, вызванная из­гибом валов и деформацией опор и приведенная к к-му колесу,

где угол относительного поворота зубчатых колес передачи, обусловленный их перемещениями вследствие деформации зубьев, валов и опор; М_к — крутящий момент, передаваемый к-м зубчатым колесом, Н-м; и тангенциальная и радиальная составляющие относительного пере­мещения пары зубчатых колес; угол трения в контакте зубчатых колес; диаметр начальной окружности к-го зубчатого колеса, м; окружная сила в передаче, Н.

Полная крутильная податливость зубчатой передачи

На основе кинематических связей в главном приводе, моментов инерции его элементов и податливости связей можно построить схему динамической системы привода. Такая схема для привода, показанного на рис. 4.13, а, при передаче момента зубчатыми колесами 4 и 5, приведена на рис. 4.13, в. Исполь­зованы обозначения и моменты инерции ротора электродвигателя и шкива ременной передачи; приведенные моменты инерции шкива 3, блоков 4 и 5 зубчатых колес, патрона б и примыкающих к ним участков валов; податливость электромагнитного поля электродвигателя; податливость соединения шкива 2 с валом [электродвигателя; эквивалентная крутильная податливость ременной передачи; эквивалентная крутильная податливость вала //, сложенная с податливостями соедине­ний его со шкивом 3 и колесом 4; эквивалентная крутильная подат­ливость зубчатой передачи 4—5; эквивалентная крутильная податливость вала V, сложенная с податливостями соединений его с колесом 5 и патроном 6. Горизонтальными линиями обозначены упругие связи, вертикальными штри­ховыми - кинематические связи.

Многоступенчатую расчетную схему заменяют линейной. При этом момен­ты инерции вращающихся масс и податливости приводят к одному ва­лу, обычно к валу электродвигателя 1;

где передаточное отношение передач от вала 1 к валу с номером

и угловые скорости валов.

Расчетная схема динамической системы привода, приведенной к валу электродвигателя, показана на рис. 4.13, г. Число степеней свободы и частот собственных колебаний системы равно числу имеющихся в ней инерционных элементов.

Упрощение расчетной схемы привода. Если частота возмущающих воз­действий не больше максимальной частоты вращения элементов привода, выс­шими собственными частотами колебаний системы можно пренебречь и упрос­тить ее, сведя к двух- или трехмассовой, имеющей две или три собственные частоты. Методика этого преобразования следующая.

Систему с п степенями свободы разбивают на парциальных систем, среди которых выделяют системы первого типа (рис. 4.13, д) с номерами /, равными 1,3,5,..,, т — 1, и второго типа (рис. 4.13, е) с номера­ми 2,4,6,,.., т. Для первых систем , для вторых

Квадраты собственных частот парциальных систем первого типа

второго типа

Из всех собственных частот парциальных систем выбирают максимальную . Задаются коэффициентом определяющим точность сохранения динамических характеристик системы, частотой внешнего возмущающего воздействия и проверяют соотношение Если оно выполняется, система может быть упрощена следующим образом. При четном L в расчетной схеме выделяют элементы , принимают и

Элементы и отбрасывают.

При нечетном L в расчетной схеме выделяют элементы , принимают и элементам присваивают значения

Элементы и отбрасывают.

Оставшимся элементам присваивают новые последовательные номера и повторяют все действия, начиная с разбиения новой системы на пар­циальные системы. Таким путем исходную систему сводят к двух- или трех-массовой.

На расчетной схеме полученной двухмассовой системы (рис. 4.13, ж) по­казаны элементы демпфирования. Коэффициенты и характеризуют рассеивание энергии колебаний в электродвигателе и механических элементах привода. Коэффициент демпфирования асинхронного электродвигателя (Н.м-с/рад)

где угловая скорость ротора двигателя, рад/с; момент инерции ротора, кг-м²; критическое скольжение ротора электродвигателя.

Для двигателя постоянного тока

где электромагнитная постоянная двигателя: индуктивность и сопротивление цепи якоря.

Коэффициент демпфирования механической части привода

где логарифмический декремент затухания, принимаемый равным 0,15... 0,3.

Возбуждение колебаний в приводе может быть следствием переменности сил резания, погрешностей элементов привода, дисбаланса вращающихся час­тей. Часто встречается случай, когда привод возбуждается крутящим момен­том, приложенным к шпинделю, переменная часть которого рассматри­вается, как функция времени t.

Дифференциальные уравнения привода. Бели в качестве переменных сос­тояния системы принять угловые отклонения приведенных масс и от угла поворота шпинделя, вращающегося с постоянной ско­ростью, буквами и обозначить коэффициенты жесткости участков цепи привода , то система линейных дифференциальных уравнений рассматриваемого привода записывается следующим образом:

В результате преобразований по Лапласу уравнения системы приобретают вид:

где р - оператор Лапласа; лапласовы изображения и лапласово изображение составляющей крутящего момента на шпинделе.

Определение динамических характеристик привода. Найдя решение и системы линейных уравнений (4.8), можно записать передаточные

функции исследуемой динамической системы. Анализ крутильных колебаний шпинделя может быть выполнен с использованием передаточной функции

Динамические нагрузки в механической части привода исследуют на осно­ве передаточной функции , где лапласово изображение момента упругих сил в механической части привода: Методами теории систем автоматического регулирова­ния и динамики металлорежущих станков Л 28] по передаточным, функциям можно найти частотные характеристики привода, условия появления резонан­са, пути отстройки привода от резонанса, исследовать переходный процесс в нем, оценить показатели динамического качества.