Производная функции

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U (x ₀) можно представить в виде

f (x ₀ + h) = f (x ₀) + Ah + o (h)

если существует.

[править] Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x ₀ называется предел, если он существует,

[править] Общепринятые обозначения производной функции y = f (x) в точке x ₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени

Дифференцируемость

Производная функции f в точке x ₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x ₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна: