Предмет начертательной геометрии, и ее основной метод.(?)

1)Модели проецирования. Центральное и параллельное проецирование.

Центральное проецирование- проецирующие лучи проводятся из одной точки S- центр проекции, J-плоскость проекции. Точки А1В1С1Д1 – точки пространства точки Д Принадлежащей пл J. Точки А1В1С1Д1-это центральные проекции точек АВСД на пл проекции SA, SB,- проецирующие лучи. Аппарат центрального проецирования пл J и центр проецирования.

Параллельное проецирование- проецирующие лучи параллельны направлению проецирования S. П1- плоскость проекции. Точки А1В1С1Д1 – точки пространства. точки Д Принадлежащей пл П1; А1В1С1Д1 это параллельные проекции точек АВСД, на пл П1. В зависимости от направления проецирования по отношению пл проекции параллельное проецирование разделяют на косоугольные и прямоугольные (ортогональные).

Выводы: 1. Каждой точке пространства соответствует одна единственная проекция на пл П1.

2. Одна проекция точки не опред положение точки в пространстве.

Свойства параллельного проецирования:

При!! проецировании нитрические характеристики геометрических объектов нарушается. В общем случае происходит искажение линейных и угловых величин. Сохраняются следующие св-ва.

1. Проекции точки на пл есть тоска А-А1.

2. Проекция прямой линии на пл есть прямая, за исключением прямой направление которой совпадает с направлением проецирования.

3. Если точка принадлежит прямой то проекция точки принадл проекции этой прямой.

4. Если отрезок прямой делится точкой в коком либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в отношении.

5. Проекции отрезков!! прямых!! и их длинны находятся в том же отношении, как и длинны проецируемых отрезков.

6. Проекции пересекающихся прямых пересекаются. Точка пересечений проекции 2х пересекающихся прямых является проекции точки пересечения прямых.

7. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искожения, если одна из его сторон!! пл проекции, и др не перпендикулярна ей.

8. Проекция 2х скрещивающихся прямых в зависимости от направления проецирования могут или пересекаться или быть!!.

9. Пл фигуры!! по проекции проецируется на эту пл без искажения.

10. При!! перемещении фигуры или пл проекции изображение фигуры на этой пл не изменятеся.

2) Метод двух изображений. Обратимость чертежей.

Способ, который позволяет расправиться и со вторым изъяном, называется методом двух изображений. Заключается он в том, что аппарат проецирования удваивается. За недостатком времени мы не будем рассматривать этот способ с общих позиций. Тем из вас, кому действительно будет интересно разобраться с этим способом, посмотреть, как там все устроено, я обещаю рассказать о нем на страничке для любознательных. А сейсчас мы с вами рассмотрим частный способ метода двух изображений – метод французского математика и геометра Гаспара Монжа. Именно Гаспар Монж и считается основателем начертательной геометрии, как таковой.

До эпохи Гаспара Монжа люди, конечно, догадывались, что рисунок – самое мощное средство представления информации о геометрической форме. Но лишь только он первым предложил использовать для полноценной работы с пространственной формой не один рисунок, а два взаимосвязанных рисунка. И у него сразу решилась проблема «упрятывания» трехмерного пространства в плоскость. Как же он поступил?

Гаспар Монж взял, да и выбрал два аппарата ортогонального проецирования, причем плоскости проекций он расположил под углом в 90 градусов. Несовпадающие плоскости, которые обычно обозначают символами π1 и π2 пересеклись по прямой линии. Эту прямую обозначают символом x12. У этой прямой два индекса, так как она принадлежит и π1, и π2

Проецируясь из бесконечно удаленного центра S1∞, точка трехмерного пространства A оставляет на плоскости π1 след – проекцию A1. Поступая аналогично и со вторым аппаратом проецирования, из точки A по направлению S2∞ получают проекцию A2. Все просто. А теперь возьмите и сотрите в этой графической схеме исходную точку A, оставив лишь два аппарата проецирования и проекции A1 и A2. Сможете ли вы теперь восстановить исходное положение точки A, пользуясь этой информацией? Конечно же сможете и вполне однозначно! Вот, собственно, и вся идея (рис. 7).

Рис. 7

Есть у этой идеи только одно неудобство. Больно уж некомфортно пользоваться двумя листами бумаги, расположенными под углом 90 градусов по отношению друг к другу. Впрочем, это неудобство тоже можно обойти. А что произойдет, если, скажем, взять, да и развернуть плоскость π2 вокруг оси x12 вплоть до совмещения с плоскостью π1. Ведь тогда окажется, что плоскость - носитель информации у нас может быть и в единственном экземпляре, а вот проекции будут изображены на этой плоскости как бы в «двойном» количестве!

Развернув плоскость π2 мы увидим, что проекции точки A расположатся на прямой линии, перпендикулярной к оси проекций x12 (рис. 8). Такие линии мы будем называть линиями связи. Это очень важные линии. Две проекции трехмерной точки никогда не могут оказаться не на одной линии связи. В нашей модели такое невозможно!

А вот философски мы сейчас с вами осуществили просто гигантский скачок. Мы заменили трехмерную точку двумя плоскими точкам, к которым прибавили одно ограничение: положение этих точек на нашей геометрической модели не может быть абсолютно произвольным:проекции связаны линией связи. Но зато мы теперь можем говорить о такой конструкции, как об обычной пространственной точке, можем моделировать пространственную точку, потому что геометрическая схема доставляет нам о трехмерной точке всю необходимую для нас информацию. И мы сможем совершенно полноценно оперировать такими точками, рассуждая о трехмерном пространстве без необходимости постоянно обращаться к нему «за помощью». Теперь трехмерное пространство «живет полноценной жизнью» в плоскости, в конструкции, которую называют эпюром Монжа.

рис8.

Обратимость чертежа может быть обеспечена проецированием на две непараллельные плоскости проекций.

Обратимость чертежа поверхности подтверждается возможностью построения любой ее образующей. Указано также построение точек на поверхностях.

Эта связь обеспечивает обратимость чертежа.

Заметим, что обратимость чертежа поверхности и, следовательно, возможность построения ее образующих исчезнет, если чертеж не будет дополнен указанным выше условием.

Проанализируем более подробно требование обратимости чертежа. Для всех видов технических чертежей это требование является особенно важным. Чертеж есть производственный документ, по которому выполняется то или другое изделие. Поэтому необходимо, чтобы по чертежу можно было точно установить форму и размеры будущего изделия, а также некоторые другие данные о нем. Кроме того, чертеж дает наглядное представление об изделии, что в свою очередь облегчает его выполнение. Никакие описания предмета не могут заменить чертежа.

В 1.4 рассмотрен способ обеспечения обратимости чертежа проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, который повсеместно применяется в машиностроительном и строительном черчении. Обратимость чертежа обеспечивается и другими способами.

Вывод: заданный аппарат проецирования полностью обеспечивает обратимость чертежа.

Вывод: заданный аппарат проецирования полностью обеспечивает обратимость чертежа.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проекций, также не обеспечивают обратимости чертежа. Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей, например аксонометрических проекций, рассматриваемых ниже.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проецирования, также не обеспечивают обратимости чертежа.

Способы образования цилиндра вращения. Одним из основных требований, предъявляемых к чертежам в начертательной геометрии, наряду с обратимостью чертежа является его наглядность. Графическое задание поверхности проекциями элементов ее определителя обеспечивает обратимость чертежа, но не обеспечивает его наглядности. Поэтому для увеличения наглядности изображения поверхности во многих случаях указывают на чертеже наряду с проекциями определяющих поверхность точек и линий также и очертание поверхности на плоскостях проекций.

Одним из основных требований, предъявляемых к чертежам в начертательной геометрии, наряду с обратимостью чертежа является его наглядность. Графическое задание поверхности проекциями элементов ее определителя обеспечивает обратимость чертежа, но не обеспечивает его наглядности.

Основные требования, предъявляемые к чертежам, используемым в начертательной геометрии и инженерно-технической практике: обратимость чертежа и его наглядность (см. гл. Вместе с тем графическое задание поверхности на обратимом чертеже проекциями элементов ее определителя не обеспечивает достаточной наглядности. Необходимо дополнять чертеж поверхности ее очертаниями на плоскостях проекций.

Заметим, что отмеченные нами свойства центральных проекций не обеспечивают однозначного соответствия оригинала, т.е. не обеспечивается обратимость чертежа. Это значит, что к использованному аппарату проецирования нужны дополнительные условия, позволяющие не только узнать точку по ее изображению, но и восстановить ее положение в пространстве.

Заметим, что отмеченные нами свойства центральных проекций не обеспечивают однозначного соответствия оригинала, т.е. не обеспечивается обратимость чертежа. Это значит, что к использованному аппарату проецирования нужны дополнительные условия, позволяющие не только узнать точку по ее изображению, но и восстановить ее положение в пространстве.

Параллельные проекции проще в построении изображений, обладают достаточно хорошей наглядностью, но решение геометрических задач в них все-таки затруднительно и, в представленном виде, они не обеспечивают обратимости чертежа.

В 1.4 рассмотрен способ обеспечения обратимости чертежа проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, который повсеместно применяется в машиностроительном и строительном черчении. Обратимость чертежа обеспечивается и другими способами.

Последние три требования не нуждаются в пояснениях. Раскроем понятие обратимости чертежа: чертеж называется обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. Очевидно, чертеж будет обратимым только в том случае, если между множествами геометрических фигур пространства и их изображений установлено взаимно однозначное соответствие.

Способы образования цилиндра вращения. Одним из основных требований, предъявляемых к чертежам в начертательной геометрии, наряду с обратимостью чертежа является его наглядность. Графическое задание поверхности проекциями элементов ее определителя обеспечивает обратимость чертежа, но не обеспечивает его наглядности. Поэтому для увеличения наглядности изображения поверхности во многих случаях указывают на чертеже наряду с проекциями определяющих поверхность точек и линий также и очертание поверхности на плоскостях проекций.

Одним из основных требований, предъявляемых к чертежам в начертательной геометрии, наряду с обратимостью чертежа является его наглядность. Графическое задание поверхности проекциями элементов ее определителя обеспечивает обратимость чертежа, но не обеспечивает его наглядности. Поэтому для увеличения наглядности изображения поверхности во многих случаях указывают на чертеже наряду с проекциями определяющих поверхность точек и линий также и очертание поверхности на плоскостях проекций.

Одним из основных требований, предъявляемых к чертежам в начертательной геометрии, наряду с обратимостью чертежа является его наглядность. Графическое задание поверхности проекциями элементов ее определителя обеспечивает обратимость чертежа, но не обеспечивает его наглядности.

Что называют несобственными элементами пространства. Что называют обратимостью чертежа.

Основным элементом чертежа является линия. Все поверхности оригинала необходимо задать на чертеже с помощью линий, поэтому фундаментальным классом задач, обеспечивающим процесс построения чертежа, являются задачи на построение общей части двух элементов. Именно взаимные пересечения элементов, инциденции обеспечивают обратимость чертежа, его полноту. Как известно, преобразование оригинала в изображение сопровождается потерей информации, поэтому множества Т и R дополняются не только правилами решения позиционных задач, но и правилами составления из элементов чертежа изображений, в которых будет сохранена необходимая информация. Фундаментальной задачей здесь являете задача геометрического измерения, а соответствующий класс задач, называемых метрическими, включает в себя отображение на чертеже перемещений оригинала в пространстве. Намеченные нами классы задач являются составными частями системы графического конструирования. В то же время каждый класс или процесс представляет собой иерархическую подсистему.

Образование аксонометрической проекции. Основным недостатком комплексного чертежа является его низкая наглядность. Поэтому в инженерной практике, при необходимости, используют изображения, полученные способом параллельного проецирования на одну плоскость и называемые аксонометрическими проекциями. При этом дополнительным условием проецирования, обеспечивающим обратимость чертежа, служит прямоугольная система координат, которую называют натуральной.

Образование аксонометрической проекции. Основным недостатком комплексного чертежа является его сравнительно низкая наглядность. Поэтому в инженерной практике, при необходимости, используют изображения, полученные проецированием на одну плоскость и называемые аксонометрическими проекциями. При этом дополнительным условием проецирования, обеспечивающим обратимость чертежа, служит прямоугольная система координат, которую называют натуральной.

Loading

3 ) Эпюр Монжа - чертеж, полученный по методу двух изображений.

метод монжа

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x12.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси x12 с плоскостью П2 (рис.6). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.

4 ) Прямая линия. Положение прямой. Следы прямой.

Прямая не параллельная и не перпендикулярная к пл проекции назыв прямой общего положения.

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекции назыв следами прямой.

Пересечение прямой с горизонтальной пл проекции П1-назыв горизонтальным следом, с фронтальной пл П2- фронтальным следом.

Прямой частного положения назыв прямая параллельная или перпендикулярная к плоскостям проекции.

Прямая параллельная горизонтальной пл пр П1 назыв горизонтальной.

Прямая параллельная фронтальной пл пр П2 назыв фронтальной.

Прямая параллельная профильной пл пр П3 назыв Профильной.

Прямая перенд горизонтальной пл пр П1 назыв- горизонтально проецирующей, фронтальной пл П2 – фронтально проецирующей, перпендикулярна профильной пл пр П3 – профильно проецирующей.