2015-05-14
460
Пусть функция 
задана в области 
, содержащей точку 
.
Определение. 1. Точка называется точкой максимума функции 
, если для всех точек 
из некоторой окрестности точки выполняется неравенство 
(другими словами, точка является для этой окрестности точкой наибольшего значения).
2. Аналогично точка называется точкой минимума функции , если для всех точек из некоторой окрестности выполняется неравенство 
.
|
Точки максимума и минимума называют точками экстремума.
Замечание. Понятие точки экстремума является локальной характеристикой функции, говорящей о ее поведении в малой окрестности точки . В точках, далеких от , значения функции могут быть больше, чем в точке максимума или меньше, чем в точке минимума (рис. 18).
 |
Необходимое условие экстремума
Теорема. Если функция имеет в точке экстремум, то каждая из частных производных 
, если она существует в этой точке, равна нулю.
Таким образом, необходимое условие экстремума в точке в случае существования частных производных имеет вид:
; 
.
Доказательство. Пусть например, — точка максимума, и в этой точке существует частная производная 
. Зафиксируем 
и рассмотрим функцию одной переменной 
. Тогда 
. Из определения точки экстремума следует, что 
является для функции 
точкой максимума, и необходимое условие экстремума для функции одной переменной дает: 
, то есть 
.
Определение. Точка области определения функции называется стационарной, если в этой точке существуют частные производные первого порядка, и выполняется необходимое условие экстремума:
.
