Теорема. Пусть в окрестности стационарной точки функция имеет частные производные до третьего порядка включительно. Обозначим:
; ; ; .
Тогда:
1. Если , то в точке экстремума нет.
2. , то в точке имеется экстремум; при этом:
если , то — точка максимума;
если , то — точка минимума.
(без доказательства).
Замечание. Если , то для решения вопроса о наличии экстремума требуется привлечение производных более высоких порядков.
Пример. Рассмотрим функцию
.
Здесь
; .
Решая систему уравнений, находим стационарные точки путем решения системы уравнений:
.
Функция имеет единственную стационарную точку . Находим частные производные второго порядка:
; ; .
Далее, , и . Значит, — точка минимума.