Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

II. Понятие производной по направлению




Пусть в области плоскости заданы функция двух переменных , точка , и ненулевой вектор . Будем выбирать переменную точку таким образом, чтобы вектор был сонаправлен с вектором (рис. 21).

 


Обозначим приращения независимых переменных при переходе от точки к точке через , ; соответст

 
 

вующее приращение функции через . Тогда

.

Определение.Пусть стремится к точке таким образом, что вектор остается направленным одинаково с вектором . Если существует конечный предел отношения при , то этот предел называется производной функции по направлению вектора в точке .

Обозначение производной по направлению: . Итак, согласно определению:

.

Замечание. Производная по направлению показывает скорость изменения функции в точке в направлении вектора . В частности производные по направлению базисных ортов равны соответствующим частным производным:

.

Пусть вектор имеет направляющие косинусы , .

Теорема. Пусть функция удовлетворяет двум условиям:

1. В окрестности точки она имеет частные производные .

2. В самой точке частные производные непрерывны.

Тогда для производной по направлению справедлива формула:

. (24)

Доказательство.Пусть , — приращения независимых переменных, соответствующие переходу от точки к точке . Ввиду непрерывности частных производных для соответствующего приращения функции справедлива формула:

,(25)

где функции и ― бесконечные малые величины при и (п. 6). Деля обе части (25) на , получаем:

. (26)

Поскольку вектор сонаправлен с вектором , то величина , будучи направляющим косинусом вектора , совпадает с направляющим косинусом вектора : . Аналогично .

Равенство (26) теперь принимает вид:

. (27)

Поскольку , , когда , то переходя в (27) к пределу при , получаем на основании свойств предела:

. ▄

Пример. Пусть , , . Вычислим производную по направлению . Находим частные производные:

; ;

; .

Находим направляющие косинусы вектора :

; .

Подставляем найденные значения в формулу (24):

.

Аналогичным образом определяется производная по направлению в случае функции трех или более переменных. Для функции трех переменных формула (24) (в случае непрерывности частных производных) принимает вид:

.





Дата добавления: 2015-05-14; просмотров: 762; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете??? 8216 - | 7181 - или читать все...

Читайте также:

 

54.243.26.210 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.003 сек.