Напомним, что плоскость , проходящая через точку и перпендикулярная нормальному вектору (рис. 14), задается уравнением:
.
Напомним далее, что условие параллельности плоскости и пространственной прямой , заданной каноническими уравнениями
,
имеет вид:
.
Определение. Прямая называется касательной прямой к поверхности в точке , если она является касательной в точке к какой-либо кривой , лежащей на поверхности (рис. 15).
Заметим что через точку можно провести разные кривые и получить, соответственно, разные касательные прямые к поверхности (рис. 16).
Пусть поверхность задана уравнением .
Определение. Точка называется обыкновенной точкой поверхности , если выполняются три условия:
1. В окрестности точки существуют частные производные , , .
2. В точке частные производные непрерывны.
3. В точке частные производные не обращаются одновременно в нуль.
Теорема. Все касательные прямые к поверхности в неособенной точке лежат в одной плоскости.
Доказательство. Пусть — плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор
|
|
(вектор является ненулевым поскольку точка по условию неособенная). Покажем, что в плоскости лежит любая касательная прямая . Пусть эта прямая является касательной к линии , имеющей параметрические уравнения
,
и
.
Канонические уравнения касательной к линии имеют вид:
.
Направляющий вектор касательной имеет координаты:
.
Достаточно показать, что векторы и перпендикулярны; необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю скалярного произведения: . Имеем:
;
правая часть здесь является полной производной сложной ; при этом функция при всех тождественно равна нулю, поскольку точка лежит на поверхности, и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению ). Итак,
. ▄
Определение. Плоскость , в которой лежат все касательные прямые к поверхности в неособенной точке , называется касательной плоскостью к поверхности.
Пример. Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в точке . Здесь . Вычислим частные производные функции :
.
Уравнение касательной плоскости:
.
Уравнения нормали к поверхности
Определение. Прямая , проходящая через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости , называется нормалью к поверхности в точке (рис. 17).
Направляющий вектор нормали совпадает с нормальным вектором касательной плоскости:
.
Поэтому канонические уравнения нормали к поверхности имеют вид:
В последнем примере канонические уравнения нормали имеют вид:
.