2015-05-14
3567
Напомним, что плоскость 
, проходящая через точку 
и перпендикулярная нормальному вектору 
(рис. 14), задается уравнением:
.
Напомним далее, что условие параллельности плоскости и пространственной прямой 
, заданной каноническими уравнениями
,
имеет вид:
.
Определение. Прямая называется касательной прямой к поверхности 
в точке 
, если она является касательной в точке к какой-либо кривой 
, лежащей на поверхности (рис. 15).
Заметим что через точку можно провести разные кривые 
и получить, соответственно, разные касательные прямые 
к поверхности 
(рис. 16).
Пусть поверхность задана уравнением 
.
Определение. Точка 
называется обыкновенной точкой поверхности , если выполняются три условия:
1. В окрестности точки существуют частные производные 
, 
, 
.
2. В точке частные производные непрерывны.
3. В точке частные производные не обращаются одновременно в нуль.
Теорема. Все касательные прямые к поверхности в неособенной точке лежат в одной плоскости.
Доказательство. Пусть — плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор
(вектор 
является ненулевым поскольку точка по условию неособенная). Покажем, что в плоскости лежит любая касательная прямая 
. Пусть эта прямая является касательной к линии , имеющей параметрические уравнения
,
и
.
Канонические уравнения касательной к линии 
имеют вид:
.
Направляющий вектор касательной 
имеет координаты:
.
Достаточно показать, что векторы и перпендикулярны; необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю скалярного произведения: 
. Имеем:
;
правая часть здесь является полной производной 
сложной 
; при этом функция 
при всех 
тождественно равна нулю, поскольку точка 
лежит на поверхности, и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению ). Итак,
. ▄
Определение. Плоскость , в которой лежат все касательные прямые к поверхности в неособенной точке , называется касательной плоскостью к поверхности.
Пример. Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением 
в точке 
. Здесь 
. Вычислим частные производные функции 
:
.
Уравнение касательной плоскости:
.
Уравнения нормали к поверхности
 |
Определение. Прямая
, проходящая через точку поверхности перпендикулярно касательной плоскости , называется нормалью к поверхности в точке (рис. 17). Направляющий вектор нормали совпадает с нормальным вектором касательной плоскости:
.
Поэтому канонические уравнения нормали к поверхности имеют вид:
В последнем примере канонические уравнения нормали имеют вид:
.
