Пусть функция имеет в области частные производные . Функции в свою очередь могут иметь частные производные в области или более узкой области. Эти частные производные называются частными производными второго порядка исходной функции .
У функции двух переменных могут быть четыре разных частных производных второго порядка:
1) , или в других обозначениях ;
2) , или в других обозначениях ;
3) , или в других обозначениях ;
4) , или в других обозначениях .
Исходные частные производные называются при этом частными производными первого порядка.
Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков от функций двух и более переменных.
Пример. У функции среди частных производных третьего порядка имеются в том числе следующие:
; ; .
и т. д.
Те из частных производных второго и более высоких порядков, у которых дифференцирование ведется по различным переменным, называются смешанными. Так, в последнем примере первые две из частных производных третьего порядка являются смешанными.
|
|
Пример. Рассмотрим функцию . Здесь
; .
Далее,
; ; ;
.
Совпадение смешанных частных производных и в последнем примере является неслучайным; именно справедлива следующая
Теорема. Пусть выполнены два условия:
1. В окрестности точки существуют частные производные и .
2. В самой точке смешанные частные производные и непрерывны.
Тогда имеет место равенство смешанных частных производных:
.
(без доказательства).