2015-05-14
679
Пусть функция 
имеет в области 
частные производные 
. Функции в свою очередь могут иметь частные производные в области или более узкой области. Эти частные производные называются частными производными второго порядка исходной функции 
.
У функции двух переменных могут быть четыре разных частных производных второго порядка:
1) 
, или в других обозначениях 
;
2) 
, или в других обозначениях 
;
3) 
, или в других обозначениях 
;
4) 
, или в других обозначениях 
.
Исходные частные производные называются при этом частными производными первого порядка.
Аналогично определяются и частные производные более высоких порядков от функций двух и более переменных.
Пример. У функции 
среди частных производных третьего порядка имеются в том числе следующие:
; 
; 
.
и т. д.
Те из частных производных второго и более высоких порядков, у которых дифференцирование ведется по различным переменным, называются смешанными. Так, в последнем примере первые две из частных производных третьего порядка являются смешанными.
Пример. Рассмотрим функцию 
. Здесь
; 
.
Далее,
; 
; 
;
.
Совпадение смешанных частных производных 
и в последнем примере является неслучайным; именно справедлива следующая
Теорема. Пусть выполнены два условия:
1. В окрестности точки 
существуют частные производные и .
2. В самой точке 
смешанные частные производные и непрерывны.
Тогда имеет место равенство смешанных частных производных:
.
(без доказательства).
