Интерполяционная формула Ньютона

Пусть у_0, у_1, у_2,....... – значения некоторой функции y = f (x), соответствующие равноотстоящим значениям аргументам х₀, х₁, х₂,....... (т.е. х_k+1 – x_k = Δ x = const).

Введем обозначения:

Δ у₀ = у₁ – у₀, Δ у₁ = у₂ – у₁, Δ у₂ = у₃ – у₂,........., Δ у_п-1 = у_п – у_п-1 - разности первого порядка данной функции;

Δ² у₀ = Δ у₁ – Δ у₀, Δ² у₁ = Δ у₂ – Δ у₁,............. – разности второго порядка

........................................................................

Δ ^п+1у₀ = Δ ^пу₁ – Δ ^пу₀, Δ ^п+1у₁ = Δ ^пу₂ – Δ ^пу₁,............. – разности (п+ 1)- го порядка

Производя последовательные подстановки, получим:

Δ² у₀ = у₂ -2у₁ + у₀, Δ³ у₀ = у₃ -3у₂ +3 у₁ – у₀ ,........

Подобным же образом получаем:

у₁ = у₀ + Δ у₀, у₂ = у₀ + 2 Δ у₀ + Δ² у₀, у₃ = у₀ + 3 Δ у₀ + 3 Δ² у₀ + Δ³ у₀,......

(3)

Запишем таблицу разностей:

х₀ у₀

Δ у₀

х₁ у₁ Δ² у₀

Δ у₁ Δ³ у₀

х₂ у₂ Δ² у₁ Δ⁴ у₀

Δ у₂ Δ³ у₁

х₃ у₃ Δ² у₂

Δ у₃

х₄ у₄

....................................................

Если в формуле (3) положить, что п – не только целое и положительное число, а может быть любым п = t, то получим интерполяционную формулу Ньютона

(4)

Мы получили такую функцию от t, которая обращается при t = 0 в у₀, при t = 1 в у_{1 ,} при t = 2 в у₂ и т. д. Поскольку последующее значение аргумента х при постоянном шаге h определяется формулой x_n = x₀ + nh, то . Тогда, полагая x = x₀ + th, приведем формулу (3) к виду (3^*)

х
у

Пример 2.2:

Из таблицы

Найти значение у при х = 3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

Решение. Составим таблицу разностей:

х	у	Δу	Δ2 у	Δ3 у

Здесь х₀ = 3, х = 3,1, h = 1. Тогда

Интерполяционная формула Ньютона (4) для этого случая:

Следовательно , т.е. при х = 3,1 у = 13,71

Интерполяционная функция Ньютона (3^*)