Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
О.1.1. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят: неизвестная переменная, искомые функции и их производные. (число уравнений равно числу неизвестных функций).
(1) |
О.1.2. Решением системы (1) называется система из n функций , подстановка которых в уравнения (1) обращает их в тождество.
О.1.3. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестной функции, называется нормальной системой.
(2) |
Эта система как обобщение одного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной . Известно, что решение такого уравнения - интегральная кривая уравнения в плоскости .
Замечание: Нормальная система дифференциальных уравнений может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений (вспомнить уравнения, сводящиеся к системе).
Если n >2, то решение нормальной системы (2) - интегральная кривая в мерном пространстве переменных .
|
|
Начальные условия системы (2) задаются в виде:
(3) |
Т.е. ищется интегральная кривая, проходящая через точку мерного пространства.
Постановка задачи Коши: Найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (3).
Теорема Коши: если в некоторой области D мерного пространства правые части (2) непрерывны вместе со своими частными производными по , то существует единственное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
О. 1.4. Функции
называются общим решением системы (2).
О.1.5. Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях , называются частными решениями (2).
О.2.1. Нормальная система дифференциальных уравнений (2) называется линейной, если функции - линейны относительно неизвестных функций .
(4) |
Или . При система (4) называется линейной однородной .
Так же как и для линейных уравнений высших порядков, существует хорошо разработанная теория линейных однородных и неоднородных систем, изучающая свойства решений, структуру общих решений, метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных систем и т. д.
Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для простоты пусть .
(5) |
Неизвестные функции
Решения системы (5) обладают следующими свойствами:
1) если решения (5), то - тоже решения.
2) если решения (5), то и тоже решения (5).
Следствие 1: Если известны два решения системы (5) , то - общее решение (5).
Это справедливо и для линейной однородной системы с непостоянными коэффициентами .
|
|
Итак, рассмотрим систему (5) линейных однородных дифференциальных уравнений.
Будем искать решения в виде
(6) способ Эйлера |
Где , удовлетворяющие (5).
Найдем получим
(7)
Система (7) - однородная алгебраическая система двух уравнений с двумя неизвестными . Чтобы она имела ненулевое решение, необходимо и достаточно чтобы ,следовательно, число должно удовлетворять условию:
(8) |
Уравнение (8) называется характеристическим уравнением для системы (5).
Его корни называются корнями характеристического уравнения. Т.к. уравнение квадратное, то существуют два корня .
Рассмотрим различные случаи:
2.1. Корни характеристического уравнения действительные различные .
Если в (7) вместо подставить , то решая (7), найдем , подставив , найдем .
Т.е. для найдем два набора чисел . Соответственно получим две системы частных решений
.
Тогда общее решение системы имеет вид
.