Коэффициентами

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными

О.1.1. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят: неизвестная переменная, искомые функции и их производные. (число уравнений равно числу неизвестных функций).

(1)

О.1.2. Решением системы (1) называется система из n функций , подстановка которых в уравнения (1) обращает их в тождество.

О.1.3. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестной функции, называется нормальной системой.

(2)

Эта система как обобщение одного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной . Известно, что решение такого уравнения - интегральная кривая уравнения в плоскости .

Замечание: Нормальная система дифференциальных уравнений может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений (вспомнить уравнения, сводящиеся к системе).

Если n >2, то решение нормальной системы (2) - интегральная кривая в мерном пространстве переменных .

Начальные условия системы (2) задаются в виде:

(3)

Т.е. ищется интегральная кривая, проходящая через точку мерного пространства.

Постановка задачи Коши: Найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (3).

Теорема Коши: если в некоторой области D мерного пространства правые части (2) непрерывны вместе со своими частными производными по , то существует единственное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

О. 1.4. Функции

называются общим решением системы (2).

О.1.5. Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях , называются частными решениями (2).

О.2.1. Нормальная система дифференциальных уравнений (2) называется линейной, если функции - линейны относительно неизвестных функций .

(4)

Или . При система (4) называется линейной однородной .

Так же как и для линейных уравнений высших порядков, существует хорошо разработанная теория линейных однородных и неоднородных систем, изучающая свойства решений, структуру общих решений, метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных систем и т. д.

Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для простоты пусть .

(5)

Неизвестные функции

Решения системы (5) обладают следующими свойствами:

1) если решения (5), то - тоже решения.

2) если решения (5), то и тоже решения (5).

Следствие 1: Если известны два решения системы (5) , то - общее решение (5).

Это справедливо и для линейной однородной системы с непостоянными коэффициентами .

Итак, рассмотрим систему (5) линейных однородных дифференциальных уравнений.

Будем искать решения в виде

(6) способ Эйлера

Где , удовлетворяющие (5).

Найдем получим

(7)

Система (7) - однородная алгебраическая система двух уравнений с двумя неизвестными . Чтобы она имела ненулевое решение, необходимо и достаточно чтобы ,следовательно, число должно удовлетворять условию:

(8)

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением для системы (5).

Его корни называются корнями характеристического уравнения. Т.к. уравнение квадратное, то существуют два корня .

Рассмотрим различные случаи:

2.1. Корни характеристического уравнения действительные различные .

Если в (7) вместо подставить , то решая (7), найдем , подставив , найдем .

Т.е. для найдем два набора чисел . Соответственно получим две системы частных решений

.

Тогда общее решение системы имеет вид

.