2015-05-14
2045
Познакомимся с более удобной формой записи системы линейных дифференциальных уравнений и ее решений.
Пусть дана нормальная система однородных линейных дифференциальных уравнений.
 | (9) |
Составим матрицу из коэффициентов системы.
- матрица – столбец неизвестных функций (или вектор-функция скалярного аргумента)
Тогда систему (9) коротко можно записать как матричное дифференциальное уравнение
 или  | (10) |
Частными решениями (10) является вектор – функция (векторы 
с координатами 
) 
- тривиальное решение.
Зная правила действия с матрицами, легко проверить, что любая линейная комбинация частных решений 
тоже решение (10).
Замечание: функции 
- линейно независимы.
Известна теорема.
Т.3.1. Для того чтобы решения 
были линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы определитель 
был отличен от нуля.
О.3.1. Любая линейно независимая система 
решений называется фундаментальной системой, а определитель 
- определителем Вронского.
По аналогии с дифференциальными уравнениями; если фундаментальная система известна, то общее решение 
- линейная комбинация частных решений.
Если система с постоянными коэффициентами, то частные решения (см. выше) отыскиваются в виде 
Вектор – функции 
запишутся так
; 
Пусть
 |
Тогда (10) перепишем в виде
 | (11) |
– матричное алгебраическое уравнение
При 
- имеем тривиальное решение. Найдем 
, чтобы 
, где вектор 
коллинеарен 
.
О.3.2. Числа 
,при которых существует ненулевое решение (11) называются собственными числами, а векторы 
собственными векторами матрицы.
Замечание: Если 
собственный вектор, соответствующий собственному числу , то и любой вектор 
, ему коллинеарный тоже собственный.
Т. е. умножая каждое решение на постоянное число, получим снова решение.
