Познакомимся с более удобной формой записи системы линейных дифференциальных уравнений и ее решений.
Пусть дана нормальная система однородных линейных дифференциальных уравнений.
(9) |
Составим матрицу из коэффициентов системы.
- матрица – столбец неизвестных функций (или вектор-функция скалярного аргумента)
Тогда систему (9) коротко можно записать как матричное дифференциальное уравнение
или | (10) |
Частными решениями (10) является вектор – функция (векторы с координатами ) - тривиальное решение.
Зная правила действия с матрицами, легко проверить, что любая линейная комбинация частных решений тоже решение (10).
Замечание: функции - линейно независимы.
Известна теорема.
Т.3.1. Для того чтобы решения были линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы определитель был отличен от нуля.
О.3.1. Любая линейно независимая система решений называется фундаментальной системой, а определитель - определителем Вронского.
По аналогии с дифференциальными уравнениями; если фундаментальная система известна, то общее решение - линейная комбинация частных решений.
|
|
Если система с постоянными коэффициентами, то частные решения (см. выше) отыскиваются в виде
Вектор – функции запишутся так
;
Пусть
Тогда (10) перепишем в виде
(11) |
– матричное алгебраическое уравнение
При - имеем тривиальное решение. Найдем , чтобы , где вектор коллинеарен .
О.3.2. Числа ,при которых существует ненулевое решение (11) называются собственными числами, а векторы собственными векторами матрицы.
Замечание: Если собственный вектор, соответствующий собственному числу , то и любой вектор , ему коллинеарный тоже собственный.
Т. е. умножая каждое решение на постоянное число, получим снова решение.