ТЕОРИЯ КРОММЕЛИНА. ФОРМУЛА ПОЛЯЧЕКА-ХИНЧИНА МОДЕЛИ M|D|V, M|D |1
Необходимые сведения по теме содержатся в [1] стр. 88-98, [2] стр. 175-180, [3] стр. 90-93.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается сущность теории Кроммелина?
2. Сопоставьте характер распределения времени ожидания и пропускную способность систем с ожиданием для двух распределений длительности занятия: постоянного и показательного.
3. Приведите формулу Полячека-Хинчина и поясните физический смысл входящих в нее величин.
4. Преобразуйте формулу Полячека-Хинчина применительно к моделям М|М|1 иМР|1.
5. Проиллюстрируйте графически зависимость Р(у > t) = f(t) для модели обслуживания М|М|1 и M|D|1.
Пример решения задачи
ЗАДАЧА
На блок ГИ АТСКУ, обслуживаемый одним маркером (V=1), поступает нагрузка Y=40 Эрл. Средняя длительность занятия входа блока составляет tвх=120с. Длительность обслуживания маркером одного вызова постоянна и составляет h = 0,6с. Допустимое время ожидания начала обслуживания td=1,2c. Определить:
1. Вероятность того, что вызов будет задержан Р(γ > 0);
|
|
2. Вероятность того, что время ожидания начала обслуживания превысит t-P(γ > t);
3. Среднее время ожидания начала обслуживания для любого вызова -М[γ];
4. Среднее время ожидания начала обслуживания для задержанного вызова -М[γз];
РЕШЕНИЕ
Процесс обслуживания маркером поступающих вызовов можно рассматривать как математическую модель обслуживания простейшего потока однолинейным пучком, работающим по системе с ожиданием при случайной выборке вызовов из очереди. Эта модель исследована Берком и получены результаты в виде функции распределения времени ожидания Р(γ > t) в зависимости от нагрузки поступающей на маркер - η и допустимого времени ожидания начала обслуживания.
По полученной зависимости построены кривые (кривые Берка) [2, стр.178]. Для определения величины η воспользуемся следующей формулой
Эрл.
Нагрузка, поступающая на маркер, меньше 1 Эрл, следовательно, маркер с обслуживанием такой нагрузки справится. Допустимое время ожидания выражается в относительных единицах:
.
По кривым Берка определяем Р(γ > 0) = 0,2; Р(γ > 2) = 0,002, т.е. 20% всех поступивших вызовов обслуживается с ожиданием; 0,2% вызовов обслуживаются с временем ожидания свыше 1,2 с.
Среднее время ожидания начала обслуживания определяется по формуле Полячека-Хинчина. Применительно к данной модели они имеют следующий вид:
; ;
Тогда эта величина в относительных единицах:
; ;
В абсолютных единицах М[γ] = 0,125 · 0,6 = 0,075 с;
М[γ3] = 0,625 · 0,6 = 0,375 с.
Такое время ожидания начала обслуживания для абонента является вполне приемлемым.
ТЕМА 8