Определенный интеграл. Использование определенного интеграла в экономической задаче

Во многих прикладных задачах требуется непросто найти первообразную, но и определить общую величину изменения f(x) от некоторого значения - а до другого значения - b, т.е. разность F(b) – F(a), которая получила название определенного интеграла.

Таким образом, определенный интеграл от f(x) – это:

ò f(x)dx = F(b) – F(a) - формула Ньютона- Лейбница, где F(x) –

- первообразная, f(x) – подинтегральн. д.,

а – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел.

Геометрическая интерпретация

Определенный интеграл равен S (площадь) фигуры, ограниченной графиком подинтегральной функции f(x), двумя прямыми, параллельными ОУ и проходящими через а и b, и осью ОХ.

у = f(x)

а b x

Если разбить отрезок [a;b] на n – равных частей, тогда S заштрихованной фигуры будет приблизительно равна сумме площадей прямоугольников

Sn, т.е. SE = S Sn. Символ ò происходит от вытянутой латинской буквы S(площади).

Свойства определения интеграла

b b

1. ò f(x) dх = - ò f(x) dх;

a a

2. ò f(x) dх = 0;

b b b

3. ò f(x) dх = ò f1(x) dх + ò f2(x) dх

a a a

b b b

4. ò [f1(x) m f2(x)] dх = ò f1(x) dх m ò f2(x) dх

a a a

b b

5. ò k f(x) dх = k ò f(x) dх, k – const.

a a

Методы вычисления определенного интеграла: формула Ньютона- Лейбница; метод подстановки интегрирования по частям.

4 2 3 4 3 3

1. ò x dх = х /3 = 4 /3 – 2 /3 = 56/3 = 18*2/3

2 2

u =x

1 x du = dx x 1 x x 1 x 1

2. ò xe dх = x = xe - ò e dх = xe –e = 1 – (e-1) = 2 – e = 2-2,7 =-0,7

0 du =e 0 0 0

v = e

Вычисление площади фигуры

Пример. Вычислить Sф, ограниченной линиями: у = 4 – х, у = 3х, у = 0,

находящейся в первой четверти.

Решение: построим параболу у = -2х = 0, х = 0 cy = 4 (экстр.)

у = -2 = < 0 (max).

A y=0

Пересечение с осями координат. х = 0 c у = 4

2 2

у = 0 c 4-х = 0, х = 4, х = m 2.

Построим прямую у = 3х,

х = 0 c у = 0

х = 1 cу = 3.

Пересечение параболы и прямой.

у = 4-х 2

у = 3х c 3х = 4-х

х + 3х – 4 = 0

D = 9 – 4*(-4) = 25 x = -3-5/2 = -4 (не нужно)

х = -3+5/2 = 1 (нужно).

S заштрихованной фигуры – сумма площадей следующих треугольников:

1 2 2 2 1 2 3 2

S = SOAB + SABC = ò xdx + ò (4-x)dx = 3* x /2 + 4x – x /3 = 3/2 + 4 – 7/3 = 19/6 =

0 1 0 1 1

=3*1/6.

Использование определенного интеграла в экономической задаче:

Управление запасами.

tср. = 1/x-x ò (x)dx, где t(x) - изменение затрат времени в зависимости от освоения производства, где х – порядковый номер изделия партии, t - время, затраченное на изготовление изделия в период от х1 до х2.

-b

Пример. t(x) = ах;

а – затраты времени на первое изделие,

b – показатель производственного процесса.

Найти среднее время (tср.), затраченное на освоение одного изделия в период от х1 до х2, если х1 = 169, х2 = 225, а = 500 = 8ч.20мин.

b = ½.

225 -1/2 1/2 225 225