Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование.

Пример. 3 ½ 1/3 1/2 -1/ 3 1/2

ò (х +1 / х) dx = ò (х + 1/х)dx = ò (х + х)dx = ò х dx +

-1/ 3 1/2 T1 T1 –1/3-1 3 3 2

+ ò х dx = х /1/2 + x / -1 +1 + C = 2 x / 3 + 3 x /2 + C.

Метод подстановки.

Пусть x =j(t),

/

х = j(t), тогда ò f(x)dx = dx = j (t)dt = ò [ f j(t)] *j (t)dt.

Пример

1 – 3х = t 1/2

ò 1 – 3х dx = -3dx = dt = ò - t /3dt = -1/3 ò t dt =

dx = -dt/3

1/2+1 3

-1/3 * t /1/2+1 + C = - 2/9 * t + C = -2/9 * (1-3x) + C.

Интегрирование по частям:

ò udv = uv - ò vdu, где u = j (x),

v = y (x) – дифференцируемые функции, то интегрирование находится по частям, причем за n берется такая функция, которая упрощается, а за dv та часть, интеграл от которой известен или может быть найден. Например для

ò P(x) e dx, ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, - за u берется P(x),

ax

а за dv = e dx, sinaxdx, cosaxdx и т.д…

… ò P(x) arcsinxdx

за u = lnx dv = P(x) dx

arccosx

arcsinx.

Пример. 4 = lnx 2 2 2

ò x lnх dx = du = 1/xdx = lnх x /2 - ò x /2*1/х * dx = lnх x /2 –1/2

dv = xdx

v = x /x

2 2 2

ò хdx = ½ lnx x –1/2 * x /x + C = 1/2x (lnx – ½) + C.

Пример. 2 3 2 3 3 -3 -3+1

ò х + 2/ х *dx = ò х /х * dx + ò 2/х *dx = lnx + 2 ò х dх = lnx + 2*x /3+1 =

-2 2

lnx – x = lnx – 1/x + C.

5 5 6

ò (1 + х) dx = ò dх + ò х dx = x + x /6 + C.