Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.
Если интегрируема на отрезке , то, очевидно, она интегрируема также на любом отрезке , вложенном в .
Положим по определению
,
где , а функция называется интегралом с переменным верхним пределом.
Пусть на отрезке . Тогда значение функции в точке равно площади под кривой на отрезке .
Это позволяет по новому взглянуть на некоторые известные функцию Например, , где , поэтому значение функции в точке численно равно площади под гиперболой на отрезке .
Рассмотрим теперь свойства функции .
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции , т.е.
. (2)
Доказательство.
Покажем, что функция
(3)
является первообразной функции .
Согласно определению производной,
|
|
.
Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде , где и при .
Следовательно, .
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , то функция также непрерывна на .
Вычисление определенного интеграла возможно с применением первообразной для функции по формуле Ньютона-Лейбница.
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке и – первообразная функции , то
.(4)
Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница.
Доказательство.
Возвратимся к уравнению (3). Полагая , находим значение постоянной :
.
Полагая в этом же уравнении , получаем:
.
Нахождение определённых интегралов с использованием формулы (4) осуществляется в два шага: на первом шаге находят первообразную для подынтегральной функции ; на втором – применяется собственно формула (3) – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. Введем обозначение для приращения первообразной
.
Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.
Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:
1) функция непрерывна на отрезке ;
2) отрезок является множеством значений функции , определенной на отрезке и имеющей на нем непрерывную производную;
3) и , то справедлива формула
.
Пример 1. Вычислить .
Решение. Положим . Тогда и .
Если , то , и если , то . Следовательно,
.
Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.
|
|
Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема 5. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула
.
Пример 2. Вычислить .