Иногда задачи Т.В. легче решать, представив их геометрически.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок наугад (случайным образом) поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l равна отношению длин отрезков: .
Пусть плоская область g составляет часть плоской области G. Внутрь области наугад поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки в плоскую область пропорциональна площади этой области, то вероятность попадания точки в область g равна отношению площадей этих областей: .
Аналогично для пространственных областей v и V.
Вероятность попадания точки в пространственную область v равна отношению объемов этих областей: .
Пр. 1. Внутри эллипса расположен круг . Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.
Найдем вероятность события А={попадание точки в кольцо}.
Пр. 2. В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) наудачу поставлена точка . Найти вероятности событий:
, , .
В={или x, или y меньше }
, .
Найдем площадь области :
, .
Эта задача является примером известной задачи про встречу:
двое договорились встретиться между 1200 и 1300 и ждать друг друга 15 минут (т.е. часа). Здесь найдена вероятность встречи ().
Теорема 2 сложения вероятностей совместных событий:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
,
Для случая трех событий формула имеет вид:
.
Пр. 3. …
Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.
Пр. 4. …
Теорема 3 умножения вероятностей независимых событий:
Вероятность совместного появления двух (или нескольких) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
,
.
Пр. 5. В 1-м ящике 2 белых и 10 синих шаров, во 2-м ящике – 8 белых и 4 синих шара. Из каждого ящика взяли по шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Рассмотрим события: ={появление белого шара из k-го ящика}, k=1,2.
События и - независимые.
, , .
Лекция 5.