Задача регрессионного анализа

После того как с помощью корреляционного анализа выявлено наличие статистически значимых связей между переменными и оценена степень их тесноты, обычно переходят к математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. С этой целью подбирают класс функций, связывающий результативный показа­тель y и аргументы ,отбирают наиболее информативные аргу­менты, вычисляют оценки неизвестных значений параметров уравнения связи и анализируют точность полученного уравнения.

Функция ,описывающая зависимость условного среднего значения результативного признака y от заданных значений аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии.

Термин "регрессия" (лат. - "regression" - отступление, возврат к чему-либо) введен английским психологом и антропологом Ф. Гальтоном и связан только со спецификой одного из первых конкретных примеров, в котором это понятие было использовано.

Обрабатывая статистические данные в связи с вопросом о наследст­венности роста, Ф. Гальтон нашел, что если отцы отклоняются от среднего роста всех отцов на х дюймов, то их сыновья отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше, чем на дюймов. Выявленная тенденция была названа «регрессией к среднему состоянию».

Пример 3.1. Задачи подобного типа обычно связаны с анализом условий протекания производственных и технологических процессов. Примером может служить процесс получения аммиака путем выделе­ния его из отходящих газов при коксовании угля. Отходящие газы, содержащие азот , водород и углекислый газ , должны быть очищены от углекислого газа. Затем получение аммиака про­исходит по схеме:

.

Процесс очистки газа происходит путем пропускания отходящих газов через слой движущейся воды, поглощающей . Под величиной y будем понимать качество очистки, характеризующееся процентным содержанием и очищенном газе. На качество очистки влияет, прежде всего, температура отходящих газов и расход воды, которые можно принять за переменные и . Однако на качество очистки влияет и множество случайных факторов, начиная с качества угля икончая температурой окружающего воздуха.

Будем считать , которые принято называть факторами, входными величинами некоторого технологи­ческого или экономического процесса, а y будем рассматривать как выходную величину (результат) этого процесса, что схематически может быть изображено схемой, показанной на рис. 4.1.

Входы Выход

Рис 3.1. Структурная схема технологического или экономического процесса

Выходную величину y в обобщенном виде можно записать следующим образом:

, (3.1)

где детерминированная составляющая, обусловленная влиянием и изменением факторов ; случайная составляющая, обусловленная действием случайных неконтролируемых факторов.

Составляющая считается случайной величиной, имеющей нормальное распределение с нулевым математи­ческим ожиданием. В этом случае детерминированная со­ставляющая представляет собой услов­ное математическое ожидание значения у при данных значениях факторов , т. е.

. (3.2)

Здесь представляет собой вектор зна­чений входных переменных, который может рассматри­ваться как точка в мерном пространстве переменных , называемом далее факторным пространством.

Цель дальнейшего рассмотрения — определение по дан­ным эксперимента вида зависимости (3.2), которая пред­ставляет собой некоторую поверхность в факторном про­странстве, называемую поверхностью отклика.

Задача регрессионного ана­лиза состоит в экспериментальном определении коэффи­циентов регрессии путем наблюдения за характером изме­нения входных переменных и выходной перемен­ной у. При этом входные параметры иначе называют факторными признаками или экзогенными (внешними) переменными. Выходную зависимую величину у называют эндогенной (внутренней) переменной модели или результативной величиной (результатом) процесса. Этой цели могут, служит методы пассивного или активного эксперимента.

Пассивный эксперимент основан на регистрации конт­ролируемых параметров в процессе нормальной работы объекта без внесения каких-либо преднамеренных возму­щений. Активный эксперимент основан на использовании искусственных возмущений, вводимых в объект по зара­нее спланированной программе. Каждый из этих способов имеет свои достоинства и недостатки.

При активном эксперименте введение искусственных возмущений позволяет целенаправленно и быстро вскры­вать нужные зависимости между параметрами, нащупы­вать области оптимального режима работы. Однако вве­дение искусственных возмущений может привести к на­рушению нормального хода технологического процесса.

При пассивном эксперименте вмешательства в ход про­изводственного процесса не происходит и эксперимента­тор просто ожидает естественного проявления интересу­ющих его закономерностей, что значительно удлиняет время эксперимента. При этом математическое описание получается лишь для области, близкой к рабочей точке объекта, которая может значительно отличаться от опти­мального режима.