Свойства операции откладывания вектора

1. Для всякой фиксированной точки A₀ Îe³ и произвольной точки B Îe³ отображение

(1)

является взаимно-однозначным отображением точек B Îe³ на множество векторов .

2.

(Аксиома треугольников). Для любых трех точек A,B,C Îe³ справедливо равенство

.

3. (Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0Îe³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки .

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве e³, а вектор – радиус-вектором точки в этом пространстве. Координатами точки M Îe³ называют координаты радиус-вектора (рис.1) где , , – направленные отрезки в e³, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в e³, приходим к векторному равенству

. (2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0Îe³, представляет взаимно-однозначное соответствие между точками M Îe³ и арифметически упорядоченными тройками чисел и является определяющим равенством для координат точек евклидова пространства.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойствами скалярного произведения (4), (6), (7), (8) из §3, а также свойством 1 операции откладывания отрезка.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину

(3)

Пусть = (u₁,v₁,w₁) и = (u₂,v₂,w₂) - направленные отрезки в e³ и пусть их координаты (u₁,v₁,w₁) (u₁,v₁,w₁) в Е³. Тогда, используя формулы (4), (7) и (8) из §3, получаем формулу для косинуса угла между и

(4)