Экспоненциальное сглаживание временного ряда yt осуществляется по рекуррентной формуле
, (4.8.1)
где St - значение экспоненциальной средней в момент времени t;
a – параметр сглаживания (0< a <1);
b =1-a.
Выражение (4.8.1) можно переписать следующим образом
(4.8.2)
В формуле (4.8.2) экспоненциальная средняя на момент времени t выражена как сумма экспоненциальной средней предшествующего периода St- 1 и доли a разницы текущего значения временного ряда yt и экспоненциальной средней St- 1.
Последовательное применение рекуррентной формулы (4.8.1) приводит к следующему выражению для St
,
где n – число точек временного ряда;
S0 - некоторая начальная величина, необходимая для первого
применения формулы (4.8.1).
Так как b <1, то при n , а сумма коэффициентов и
, (4.8.3)
т.е. St оказывается взвешенной суммой всех уровней временного ряда. При этом веса падают экспоненциально с возрастанием «возраста» данных.
Рассмотрим стационарный процесс следующего вида
.
Для такого процесса
(4.8.4)
Найдем математическое ожидание и дисперсию St, воспользовавшись формулой (4.8.4).
|
|
Так как , то
.
Таким образом, экспоненциальная средняя St имеет то же математическое ожидание, что и yt, но меньшую дисперсию.
Экспоненциальная средняя St может быть использована не только для сглаживания временного ряда, но и для краткосрочного прогнозирования.
Прогнозная модель имеет вид
,
где - прогноз, сделанный в момент времени t на t единиц времени вперед.
Отметим, что все свойства экспоненциальной средней распространяются на прогнозную модель. В частности, если St-1 рассматривать как прогноз на 1 шаг вперед в момент времени t-1, то величина yt - St-1 представляет собой погрешность этого прогноза, а новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки по формуле (4.8.2). В этом и состоит суть адаптации.
При краткосрочном прогнозировании желательно с одной стороны быстро отразить изменение среднего уровня, а с другой – очистить ряд от случайных колебаний.
Для выполнения первого требования величину a следует увеличить, а для выполнения второго – уменьшить. Таким образом, эти два требования находятся в противоречии и необходим некий компромисс.
Рассмотрим вопрос выбора параметра a. При St= S0, т.е. адаптация полностью отсутствует, а при имеет место так называемая «наивная» модель прогнозирования
,
в соответствии с которой прогноз на любой срок равен текущему (последнему) значению временного ряда. В ряде работ рекомендовано брать значение a в пределах от 0,1 до 0,3, однако эта рекомендация по сути не имеет должного обоснования.
Выбор начального значения S0 всегда вызывает вопрос, однако если параметр a велик, то величина быстро убывает с ростом i и влияние S0 на величину St становится несущественным.
|
|
ПРИМЕР
Для иллюстрации процедуры расчета экспоненциальной средней рассмотрим пример сглаживания динамики курса акций фирмы IBM, производящей ЭВМ (табл. 4.4).
Табл.4.4
Экспоненциальные средние
Номер точки | Исход-ный ряд | Номер точки | Исход-ный ряд | ||||||
506,4 | 508,0 | 509,6 | 505,7 | 513,3 | 513,1 | ||||
505,5 | 502,5 | 498,3 | 506,1 | 511,7 | 510,3 | ||||
505,3 | 503,2 | 503,4 | 506,1 | 508,8 | 506,4 | ||||
505,8 | 506,6 | 509,3 | 507,0 | 511,9 | 514,1 | ||||
506,1 | 507,8 | 509,0 | 508,5 | 517,0 | 521,2 | ||||
505,8 | 505,4 | 503,6 | 509,9 | 520,0 | 522,8 | ||||
505,2 | 502,7 | 500,4 | 511,6 | 523,5 | 526,6 | ||||
504,7 | 501,4 | 500,0 | 512,8 | 523,2 | 523,4 | ||||
504,2 | 500,7 | 500,0 | 514,3 | 525,6 | 527,5 | ||||
503,3 | 497,8 | 495,5 | 515,8 | 527,3 | 528,9 | ||||
502,4 | 495,9 | 494,2 | 518,0 | 532,7 | 537,1 | ||||
502,0 | 497,5 | 498,5 | 520,1 | 525,8 | 538,8 | ||||
502,0 | 499,7 | 501,2 | 522,2 | 538,4 | 540,8 | ||||
502,7 | 504,4 | 508,3 | 524,3 | 540,7 | 542,8 | ||||
505,0 | 514,7 | 523,3 | 525,9 | 540,9 | 541,2 |
При проведении расчетов начальное значение экспоненциальной средней S0 было принято равным средней арифметической из первых 5 уровней ряда
В нашем случае
Дальнейшие вычисления при выглядят следующим образом
и т. д.
Результаты вычислений экспоненциальных средних при a= 0,1, a =0,5 и a =0,9 приведены в табл. 4.4.