double arrow

Найдем ковариационную матрицу оценок

.

В этой матрице элементами главной диагонали являются дисперсии оценок .

Выполним преобразование

,

откуда .

Тогда

.

Полученное выражение содержит матрицу

M(ee T) =

В данной матрице все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны 0 (в силу предположения о некоррелированности ошибок ei). Поскольку все ошибки имеют одинаковую дисперсию, то

,

где Е – единичная матрица.

Окончательно получим

. (4.6.4)

Так как величина s2 неизвестна, в качестве ее оценки используется величина

. (4.6.5)

Определим теперь дисперсию ошибки прогноза. Если tL – прогнозный момент времени, то прогноз по полиномиальной модели имеет вид

.

Отметим, что

,

т. е. мы получили несмещенный прогноз среднего уровня

+

+

Это выражение можно записать в матричной форме

,

где TTL = (1 tL tL2 …… tLm).

Учитывая (4.6.4), получим

.

Поскольку s2 неизвестна, будем использовать ее оценку

.

Ошибка прогноза обусловлена не только ошибкой оценки среднего, но и случайным отклонением от среднего уровня

,

где – истинное значение среднего уровня.

Тогда

= .

Окончательно

. (4.6.6)

ПРИМЕР. Динамика объема продаж некоторого товара (тыс.шт.) за 9 лет приведена в табл. 4.3.

Таблица 4.3.

Год ti yi tiyi ti2 yiti2 ti3 ti4 (t)
    18,2 18,2   18,2     17,6
    20,1 40,2   80,4     20,9
    23,4 70,2   210,6     23,3
    24,6 98,4   393,6     24,1
    25,6 128,0   640,0     25,5
    25,9 155,4   932,4     25,3
    23,6 165,2   1156,4     24,2
    22,7 181,6   1452,8     22,3
    19,2 172,8   1555,2     19,4
Cумма   203,3 1030,0   6439,6     203,3

Из таблицы видно, что в течение первых 6 лет объем продаж товара возрастал, а в последние 3 года снижался. Это говорит о невозможности аппроксимации временного ряда линейной зависимостью.

Попробуем описать динамику полиномом 2-го порядка (параболой)

.

Система уравнений для оценки параметров полинома 2-го порядка имеет вид:

,

,

.

Для нашего примера (см. итоговую строку таблицы):

,

,

.

Решение этой системы дает коэффициенты полинома

,

а математическая модель принимает вид

.

Полученные с ее помощью «прогнозы» (для t =1,…,9) приведены в последнем столбце таблицы. Нетрудно заметить, что они достаточно близки к реальным данным.

4.7. СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени.

Случайным процессом Y(t) называется функция от t,которая при любом значении t является случайной величиной.

Временной ряд можно рассматривать как одну из реализаций (траекторий) случайного процесса Y(t).

Временной ряд называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей случайных величин

точно такое же, как и для случайных величин

для любых t,τ и n.

Для стационарных временных рядов определяют степень тесноты связи между Y(t) и

ибо

,

.

Зависимость называют автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда автокорреляционная функция зависит только от лага τ.

Под стационарным процессом в широком смысле понимают случайный процесс, у которого среднее и дисперсия не зависят от t, а автокорреляционная функция зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными

,

,

,

где

Основная проблема в оценивании параметров случайного процесса состоит в том, что фактически имеется только одна его реализация. Данную проблему можно решить с использованием понятия эргодичности – замены усреднения по множеству реализаций случайного процесса усреднением по времени. Эргодичность делает возможным оценивание только по одной его реализации – временному ряду.

Оценка математического ожидания

=

Оценка дисперсии

Оценка автокорреляции (выборочный коэффициент автокорреляции )

=

Функцию называют выборочной корреляционной функцией, а ее график – коррелограммой. При расчете следует помнить, что с увеличением τ число n-τ пар наблюдений уменьшается, поэтому лаг должен быть таким, чтобы число n-τ было достаточным для определения . Обычно .

4.8. АДАПТИВНЫЕ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

При прогнозировании стационарных процессов используются так называемые адаптивные модели, к числу которых относятся модели экспоненциального сглаживания и модель Бокса-Дженкинса, которая является более общей по отношению к модели экспоненциального сглаживания.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: